Kétváltozós művelet műveleti táblával?

Kommutativitás: ha kommutatív lenne, akkor a táblázat szimmetrikus lenne a főátlóra. Láthatóan nem így van, tehát nem kommutatív. De például b*a=b, a*b=a, és nyilván a és b nem ugyanaz.

Asszociativitás: asszociativitás esetén akárhogyan zárójelezel, mindig ugyanaz lesz az eredmény. Például (a*b)*c=a*c=c és a*(b*c)=a*c=c és c=c. Ettől még akár lehetne is asszociatív, szóval tovább kell vizsgálódnunk. Azt vehetjük észre, hogy ha a műveletben van c, akkor c lesz az eredmény. Ha c nincs benne, de d igen, akkor ugyanaz a helyzet, vagyis mindig d lesz. Így nekünk csak az a;b-vel kapcsolatos műveleteket kell megnéznünk, ebből összesen 8 darab van;

(a*a)*a=a*a=a és a*(a*a)=a*a=a, ez igaz.

(a*a)*b=a*b=a és a*(a*b)=a*a=a, ez is igaz.

(a*b)*a=a*a=a és a*(b*a)=a*b=a, ez is igaz.

(a*b)*b=a*b=a és a*(b*a)=a*b=a, ez is igaz.

(b*a)*a=b*a=b és b*(a*b)=b*a=b, ez is igaz.

(b*a)*b=b*b=b és b*(a*b)=b*a=b, ez is igaz.

(b*b)*a=b*a=b és b*(b*a)=b*b=b, ez is igaz.

(b*b)*b=b*b=b és b*(b*b)=b*b=b. ez is igaz.

Az asszociativitás általában nem olvasható ki a táblázatból. Ahhoz, hogy ezt meg tudjuk ítélni, ezt kell használni:

[link]

Nem ismerem az eljárást, szóval nem tudok benne segíteni.

Tehát a művelet asszociatív.

Zéruselem: olyan elem, amivel vett művelet eredménye maga az elem (mint ahogyan 0szor5=0). Esetünkben k zéruselem, hogyha k*x=x*k=k. Az látható, hogy a c pont ezt tudja (ha c szerepel a műveletben, akkor az eredmény mindig c), tehát c lesz a zéruselem.

Neutrális elem (egységelem): olyan elem, amivel vett művelet eredménye a másik tag (mint például 1szer5=5). Általánosan: n neutrális elem, hogyha n*x=x*n=x. Mivel a művelet nem kommutatív, ezért ez nem fog működni, legfeljebb úgy, hogy valamelyik oldali egységelemről beszélünk. Ezeket külön meg kell nézni;

-n bal oldali egységelem, hogyha n*x=x. Ilyet nem látunk sehol, tehát bal oldali egységelem nincs.

-n jobb oldali egységelem, hogyha x*n=x. Azt látjuk, hogy ezt az a elem teljesíti, mivel

a*a=a

b*a=b

c*a=c

d*a=d

Tehát jobb oldali neutrális elem van, és az az a.