A járókelők 35%-a 25 éven aluli fiatal. Megkérdeznek találomra 10 embert. a)Mennyi a valószínűsége,hogy a megkérdezettek között legfeljebb 4fiatal van? b)legalább 2fiatal van? c)az első 3 és az utolsó 3 megkérdezett fiatal,a többi nem fiatal?

35% = 35/100 = 7/20

65% = 65/100 = 13/20

A jobb érthetőség kedvéért, és hogy egész számokkal tudjunk számolni, mondjuk azt, hogy 20*k emberből lehetett választani (ahol k pozitív egész), ekkor 7*k ember volt 25 év alatti és 13*k ember 25 év feletti.

Mivel a feladat szerint "találomra" kérdezünk embereket, ezért egy embert többször is megkérdezhetünk, akár mind a 10-szer ugyanazt, így ismétléses variációval számolunk.

Összes eset: (20k)*(20k)*(20k)*(20k)*(20k)*(20k)*(20k)*(20k)*(20k)*(20k)=(20k)^10

a) Kedvező eset:

Ha 0 idős van: (7k)^20

Ha 1 idős van: Ha veszünk egy konkrét felállást, például IFFFFFFFFF, akkor ott (13k)*(7k)*(7k)*...*(7k) = (13k)*(7k)^9-féle lehetőség van. Összesen 10-féle felállást tudunk mondani (10 helyre írható az I betű), a csere-bere pedig csak a szorzótényezők sorrendjét változtatja, így azok értéke nem változik, ezért 10*(13k)*(7k)^9-féleképpen lehet 1 időset megkérdezni.

Ha 2 idős van, akkor az IIFFFFFFFF felállást megnézve (13k)*(13k)*(7k)*(7k)*...*(7k) = (13k)^2 * (7k)^8-féle lehetőség van, ezt -ahogy az előbb- megszorozzuk a lehetséges felállások számával, ami az ismétléses permutáció szerint 10!/(2!*8!), ez pedig átírható kombinációs alakra, ami (10 alatt a 2), tehát (10 alatt a 2)*(13k)^2*(7k)^8-féleképpen lehet pontosan 2 időset megkérdezni.

Ebből a sémát már lehet látni; ha 0<=n<=10 idős van, akkor

(10 alatt az n) * (13k)^n * (7k)^(10-n) -féleképpen lehet pontosan n darab idős ember megkérdezni.

Természetesen a képlet megalkotható úgy is, hogy n a fiatalok számát jelölje, próbáld meg felírni azt is.

Ha legfeljebb 4 fiatal van, akkor legalább 6 idős, tehát a fenti képletben n helyére beírod a 6;7;8;9;10 számokat, kiszámolod őket, utána összeadod őket, majd osztasz az összes esettel, ami (20k)^10. Csodák csodájára az összes k kiesik a feladatból, így egy konkrét számértéket kapsz. Ez azért érdekes, mert a feladat így nem függ a résztvevők számától, vagyis mindegy, hogy hányan vannak,mindig ennyi lesz a hányados, így a valószínűség.

b) Ha legalább 2 fiatal van, akkor legfeljebb 8 idős, akkor itt is megteheted, hogy n helyére beírod a 0;1;...;8 számokat, egyesével kiszámolod és összeadod. Ha nem akarsz ennyit küzdeni, akkor azt számold ki, hogy hány esetben lesz legfeljebb 1 fiatal, vagyis legalább 9 idős, így csak a 9;10 számokat kell beírnod, viszont ezzel a "rossz esetek" számát kapod, a "jókat" pedig úgy kapod, hogy az összes esetből ezt levonod. Kicsit kevesebbet kell így számolni.

A valószínűség itt is az, hogy az összes esettel osztasz, és itt is kiesik a k a végére.

c) Itt egy konkrét felállást adtak, amivel kell számolni: FFFIIIIFFF itt csak annyi a dolgod, mint általában; (7k)*(7k)*(7k)*(13k)*(13k)*(13k)*(13k)*(7k)*(7k)*(7k) = 3360173089*k^10, de szorzatalakban is hagyhatod.

Összes eset: (20k)^10 = 10240000000000*k^10, így

Valószínűség: (3360173089*k^10)/(10240000000000*k^10) =~ 0,000328142 = 0,0328142%, itt is kiesett a k, tehát bármennyien is vannak, mindig ennyi lesz a valószínűség.