Vektortér dimenziója?

1) Jól gondolod.

2) Jól gondolod. Egyszerűbb úgy gondolni rá, hogy P*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4) alakban írjuk föl a keresett polinomokat, ahol P tetszőleges hatodfokú polinom, ami 7 együtthatóval írható le.

3) Jól gondolod.

4) Ez kicsit trükkösebb. Különbséget kell tenni "a" különböző értékei között, a következőkre figyelve: 3 különböző komplex szám-e i, i+1 és a-i+1, vagy csak két különböző gyököt keresünk. A másik feltétel, amit nézni kell, hogy az együtthatók valósak legyenek, vagyis ha (x-i)*(x-i-1)*(x-a+i-1) nem valós együtthatós, akkor lesz plusz feltétel a végső polinom együtthatóinak valósságára. Nem gondoltam végig ezeket, de ha a 2-es feladathoz hasonlóan P*(x-i)*(x-i-1)*(x-a+i-1) alakból indulsz ki, akkor egy kis munkával ki kell jönnie.

5) 6 valós szám négyzetősszege akkor 0, ha minden tag 0. Tehát ez simán egy 4 dimenziós alter, ahol az első 6 koordináta 0.

2) -re se az nem jó, amit a te gondoltál, se az, amit Baluba írt. A keresett polinomok nem P*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4) alakúak, hanem P*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4) + c alakúak, ahol c szintén tetszőleges lehet, így 8 a válasz.

A négyeshez pedig azzal kell tisztában lenni, hogy amikor egy valós polinomnak egy szám gyöke, akkor a konjugáltja is gyöke. Ezért a megadott három gyök előírásával valójában négy gyöktényezőt rögzítettünk és a polinomnak csak egy ötödfokú hányadosát választhatjuk szabadon.

Ha tévednék, valaki javítson ki.

3-as válaszolónak igaza van.

A 2) feladatban nem az a feltétel, hogy gyöke az 1, 2, 3, 4, ahogy azt én feltételeztem, hanem csak azonos a helyettesítési érték. Ez pedig nem 4, hanem csak 3 dimenziót "köt le", mert maga a közös érték szabad változó marad.

4)-ben meg valóban nagyon megkönnyíti az életet az is, ha "a" csak névelő és nem paraméter, illetve a konjugált gyökökre vonatkozó tétel is. Ettől még meg lehet úgy is oldani, ahogy én leírtam, csak több szenvedéssel. :)