Egy tárgy és a képet felfogó ernyő távolsága 80 cm. Közöttük egy lencsét mozgatva kétszer kapunk éles képet. Az egyik kép a másik 9-szerese. Mekkora a lencse fókusztávolsága?

Az ilyen feladatokat a leképezési törvénnyel tudjuk kiszámolni ami: 1/f=1/t+1/k, ahol f=fókusztávolság, t=tárgytávolság, k=képtávolság.

Illetve a nagyítás=K/T=k/t ahol a K=képnagyság, T=tárgynagyság, és k, t ugyanazok, mint fentebb leírtam.

Itt most azt tudjuk, hogy t+k=80cm=0,8m

Illetve a két nagyítás aránya 9:

9=(K1/T1)/(K2/T2)=(k1/t1)/(k2/t2)

Arra kell még rájönni, hogy ami az egyik esetben a tárgytávolság, az a másik esetben a képtávolság lesz pont ugyanannyi, és fordítva, tehát ami az egyik esetben a képtávolság, az lesz a másikban a tárgytávolság.

És ebből az következik, hogy a nagyítás is az egyik esetben a másik reciprok szorosa, tehát a 9-nek a négyzetgyökét kell venni, ami 3, és így az egyik esetben a nagyítás 3-szoros, a másik esetben pedig 1/3-szoros, ami ugye kisebb, mint 1, vagyis kicsinyítésről beszélünk, és akkor igaz az, hogy az 1/3 az a 3-nak a reciproka, és az is igaz, hogy 3/(1/3)=9.

Vagyis most már tudjuk, hogy az egyik esetben a nagyítás=3, vagyis:

3=k/t

és

0,8m=t+k

És ezt az egyenletrendszert kell megoldani a leképezési törvénybe helyettesítéssel:

ha 3=k/t akkor -> k=3t

és ezt behelyettesítve a második egyenletbe:

0,8m=t+3t=4t

vagyis a tárgytávolság az 0,8/4=0,2m=20 cm.

És akkor a képtávolság:

k=0,8m-t=0,8m-0,2m=0,6m=60 cm.

És láthatjuk, hogy a nagyítás valóban 3, mert k/t=60cm/(20cm)=3

A másik esetben - ahogy már fentebb írtam - ez a két érték felcserélődik, és a tárgytávolság lesz 60 cm, és a képtávolság lesz 20 cm, és akkor a nagyítás=20cm/(60cm)=1/3, ami kisebb, mint 1, vagyis ilyenkor kicsinyítés lép fel. És a 9-es arány is kijön a 3/(1/3)=9-ből.

És a fókusztávolsághoz pedig a leképezési törvény kell.

Ezt a kétféle képalkotás közül bármelyikkel számolhatjuk, mert ugyanaz lesz a végeredmény (számoljunk a nagyításossal):

1/f=1/t+1/k=1/(0,2m)+1/(0,8m)=(5+1,25) 1/m = 6,25 1/m

és ennek reciproka:

f=0,16m=16 cm.

Ha a másik képalkotással (a kicsinyítésessel) számolunk, akkor is ugyanez lesz az eredmény, hiszen ugyanazokat a számokat helyettesítjük be, csak fordított sorrendben.

Remélem érthető voltam, és kapok zöld kezet. Ha nem, kérdezz nyugodtan.