Matek feladat 11.?

a)

sc^2=(2a^2+2b^2-c^2)/4

81=(2*16^2+2*8^2-c^2)/4

...

c=2*sqrt(79)

b)

cos(fi)=(sc^2+(c/2)^2-a^2)/(2*sc*c/2)= ...

Helyettesíts!

Egy lehetséges megoldás, ami az ilyen jellegű feladatoknál mindig használható;

Húzzuk be a súlyvonalat, ez a harmadik oldalt felezi, ezeket a részeket nevezzük x-nek.

A súlyvonal a harmadik oldallal két szöget zár be. Nevezzük az egyiket (a 8 cm-es oldallal szemköztit) Ł-nak, ekkor a másik értelemszerűen 180°-Ł lesz.

A súlyvonal a háromszöget két kisebb háromszögre bontja, ezekben a kisebb háromszögben fel tudunk írni két koszinusztételt:

I. 8^2 = x^2 + 9^2 - 2*x*9*cos(Ł)

II. 16^2 = x^2 + 9^2 - 2*x*9*cos(180°-Ł)

A két egyenletnek egyszerre kell teljesülnie, ezért egyenletrendszert alkotnak. Első lépésben használnunk kell egy azonosságot, amit a koszinuszfüggvénynél tanultunk; cos(180°-Ł)=-cos(Ł). Ennek megfelelően a második egyenlet így néz ki:

II. 16^2 = x^2 + 9^2 - 2*x*9*(-cos(Ł)), vagyis

II. 16^2 = x^2 + 9^2 + 2*x*9*cos(Ł)

Ez azért jó, mert a két egyenletet össze tudjuk adni, és akkor a koszinuszos szorzat kiseik a történetből:

I.+II. : 8^2 + 16^2 = x^2 + 9^2 + x^2 + 9^2, és ez az egyenlet már megoldható.

Másik lehetőség, hogy a paralelogramma-tételt használjuk; az oldalak négyzetöszege megegyezik az átlók négyzetösszegével.

Ha a háromszöget paralelogrammává egészítjük ki, akkor a paralelogramma oldalai 8;16;8;16 cm hosszúak lesznek, az egyk átló 9+9=18 cm hosszú, a másik átlót nevezzük x-nek (ez az eredeti háromszög ismeretlen oldala), ekkor a tétel alapján:

8^2 + 16^2 + 8^2 + 16^2 = 18^2 + x^2

Maga a tétel egyébként elemi lépésekkel belátható, tehát a feladat is megoldható elemi lépésekkel. Ha megnézed a bizonyítás lépéseit, akkor láthatod.

[link]

7. tétel