Polinom irreducibilisekre bontása?
Ez a feladat: Bontsuk fel irreducibilis polinomok szorzatára Z7 felett az (x^6) − 1 polinomot.
És ez a megoldás: (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)(x − 6)
Ha jól gondolom, a Z7-tel majd csak a végén kell foglalkozni, és az csak annyi, hogy mod 7-tel átírom a gyököket.
Ahhoz, hogy irreducibilisek szorzatára tudjam bontani Z felett az kell most, hogy Q felett is irreducibilis legyen, ugye? Ehhez meg kell nézni a Schönemann-Einstein kritériumokat (a simát meg a fordítottat), de ezek most nem segítenek, viszont nem tudom, hogyan tovább innen. Valaki tud ebben segíteni?
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz0.png)
Már nem azért, de ezt középiskolás tudással fel lehet bontani szorzatalakba. Még polinomosztani sem kell, ha nagyon ügyes vagy.
Pontosan mi nem megy?
:(
Addig oké, hogy -+1 gyökök, és akkor lesz (x-1)(x+1)(x^4+x^2+1), de az utolsó tényezőnél én már nem találok gyököt Q felett.
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz0.png)
Nos, ha visszaemlékszel, akkor valami olyasmit mondtunk, hogy minden polinom felbontható valamilyen formában konstans, első- és másodfokú polinomok szorzataként R felett. Azért ezekre, mert ezek között vannak irreducibilisek R felett (az elsőfokú mindig (a kontans kiemelést leszámítva), a másodfokú pedig a diszkriminánstól függ), viszont emiatt nem feltétlenül kell, hogy gyöke legyen nagyobb fokszám esetén.
Egyszerűbb, ha így indulsz el;
tanult azonosság: a^2-b^2=(a-b)*(a+b), esetünkben
x^6-1 = (x^3-1)*(x^3+1)
A két harmadfokú tényező is szépen lebontogatható a rájuk vonatkozó azonosságok alapján. A keletkező két másodfokúnak nem lesznek gyökeik.
Folytatva a te gontolatmenetedet, szükségünk van egy trükkre; variáljuk meg egy kicsit, hogy nekünk jó legyen:
x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2-x+1)*(x^2+x+1)
Ezeknek R-en valóban nincs megoldásuk, viszont mindkettőből levonható 7 (lévén 1 = -6 Z7 felett), és így gyönyörűen kijönnek az egész megoldások, amikkel már fel tudod bontani.
Ugyanez persze eljátszható az x^4+x^2+1 polinom esetén is, csak itt egy 7-es levonása nem elég, ahhoz x^4+x^2-20-ig kell elmenni.
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz1.png)
A feladat általánosítását tetszőleges p prímre lsd. itt a Wilson-tétel bizonyításánál (9.3. tétel):
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz2.png)
![*](http://static.gyakorikerdesek.hu/p/vsz1.png)
További kérdések:
Minden jog fenntartva © 2025, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!