Polinom irreducibilisekre bontása?

Már nem azért, de ezt középiskolás tudással fel lehet bontani szorzatalakba. Még polinomosztani sem kell, ha nagyon ügyes vagy.

Pontosan mi nem megy?

Nos, ha visszaemlékszel, akkor valami olyasmit mondtunk, hogy minden polinom felbontható valamilyen formában konstans, első- és másodfokú polinomok szorzataként R felett. Azért ezekre, mert ezek között vannak irreducibilisek R felett (az elsőfokú mindig (a kontans kiemelést leszámítva), a másodfokú pedig a diszkriminánstól függ), viszont emiatt nem feltétlenül kell, hogy gyöke legyen nagyobb fokszám esetén.

Egyszerűbb, ha így indulsz el;

tanult azonosság: a^2-b^2=(a-b)*(a+b), esetünkben

x^6-1 = (x^3-1)*(x^3+1)

A két harmadfokú tényező is szépen lebontogatható a rájuk vonatkozó azonosságok alapján. A keletkező két másodfokúnak nem lesznek gyökeik.

Folytatva a te gontolatmenetedet, szükségünk van egy trükkre; variáljuk meg egy kicsit, hogy nekünk jó legyen:

x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2-x+1)*(x^2+x+1)

Ezeknek R-en valóban nincs megoldásuk, viszont mindkettőből levonható 7 (lévén 1 = -6 Z7 felett), és így gyönyörűen kijönnek az egész megoldások, amikkel már fel tudod bontani.

Ugyanez persze eljátszható az x^4+x^2+1 polinom esetén is, csak itt egy 7-es levonása nem elég, ahhoz x^4+x^2-20-ig kell elmenni.

A feladat általánosítását tetszőleges p prímre lsd. itt a Wilson-tétel bizonyításánál (9.3. tétel):

[link]