Hogyan kell megoldani ezeket a feladatokat?

a) Akkor alkotnak bázist, hogyha a három vektor lineárisan független, vagyis bárhogyan megválasztva az s;t skalárt, az

a = s*b + t*c

vektoregyenletnek soha nem lesz megoldása (a bal oldalra nyugodtan írható lett volna akár a b, akár a c vektor is).

Hogy ezt ne kelljen végigszenvednünk, van egy másik megoldás is; tudjuk, hogy ha lineárisan függő vektorokat mátrixba rendezünk, akkor (és csak akkor) a mátrix determinánsa 0. Ennek megfelelően rendezzük őket mátrixba (mindegy, hogy soronként vagy oszloponként írjuk fel őket, vagy hogy milyen sorrendben, a determinánst nem befolyásolja);

[1 2 1]

[3 0 4]

[0 3 x]

Ennek a determinánsát a Sarrus-szabály alapján tudjuk számolni;

1*0*x + 2*4*0 + 1*3*3 - 1*4*3 - 2*3*x - 1*0*0 = -3 - 6x

Ha ez 0, akkor függőek a vektorok, egyébként nem. Tehát oldjuk meg a

-3-6x=0 egyenletet, melynek megoldása x=1/2. Tehát ha x helyére az 1/2 számot írjuk, akkor lineárisan függőek a vektorok, így NEM alkotnak bázist, minden más esetben igen.

b) Ennél a feladatnál azt kell használnunk, amit az előbb nem használtunk, viszont most fontos, hogy a v vektor balra kerüljön, és mindhárom vektort fel kell használnunk, tehát olyan s;t;u skalárokat keresünk, hogy a

v = s*a + t*b + u*c

vektoregyenlet teljesüljön. Írjuk be a vektorat koordinátaalakban:

(0 ; 3 ; 2) = s*(1 ; 2 ; 1) + t*(3 ; 0 ; 4) + u*(0 ; 3 ; 1), elvégezzük a szorzásokat:

(0 ; 3 ; 2) = (s ; 2s ; s) + (3t ; 0 ; 4t) + (0 ; 3u ; u), majd összeadunk:

(0 ; 3 ; 2) = (s+3t ; 2s+3u ; s+4t+u)

Két vektor akkor és csak akkor egyenlő, hogyha koordinátáik megegyeznek, tehát:

0 = s + 3t

3 = 2s + 3u

2 = s + 4t + u

Ezzel egy háromismeretlenes egyenletrendszer kaptunk, amit könnyedén meg lehet oldani. El lehet szórakozni a Gauss-eliminációval is, de mivel az első egyenlet kétszeresen hiányos, ezért abból könnyen le tudjuk bontogatni az egyenletrendszert; kivonunk 3t-t, így s=-3t megoldást kapjuk, amit be tudunk írni s helyére a másik két egyenletben:

3 = 2*(-3t) + 3u

2 = -3t + 4t + u, összevonás után

3 = -6t + 3u

2 = t + u, ez pedig egy mezei kétismeretlenes lineáris egyenletrendszer, amit könnyen meg lehet oldani. Szorozzuk a második egyenletet 3-mal:

6 = 3t + 3u, majd kivonva egymásból a két egyenletet:

3 = 9t, erre 1/3=t adódik. Behelyettesítve a harmadikba:

2 = 1/3 + u, tehát 5/3 = u, végül pedig s=-3*(1/3)=-1, tehát

v = -1*a + (1/3)*b + (5/3)*c

Az ellenőrzést rád hagyom.