Helyesen számoltam a tényleges kamatlábat?

Biztos, hogy így kell számolni? Valami nekem nem stimmel.

Folytonos esetben egyébként határértéket kell számolni, ahol az időegység->0.

Tehát be tudsz helyettesíteni a képletbe:

(1+10,1/m)^m -1

Ha megadták volna, hogy például a kamatperiódus 1 hét, akkor tudnád, hogy m=52, mivel 52 hétből áll egy hét.

Ha azt adták volna meg, hogy a kamatperiódus 1 másodperc, akkor m helyére 31536000-át írnál, mivel ennyi másodperc van egy évben.

Folytonos esetben még a másodpercnél is jóval kisebb a tőkésítés időtartama, amit a köznyelvben "pillanatként" mondanénk, amit ugyanúgy 0-val jelölnénk, mint a 0 másodpercet. Ezzel az a baj, hogy 0-val nem nagyon tudunk osztani, így m helyére sem tudunk mit beírni.

Feltalálták viszont a határérték-számítást, ami gyakorlatilag nem más, minthogy egy adott számhoz egyre közelebbi számokat írunk, és megnézzük, hogy milyen számértékhez közelít az eredmény, és azt a számot hívjuk határértéknek (ennél azért kicsit bonyolultabb, de nagyvonalakban ez a lényege).

Esetünkben, mivel a kamatperiódus ~0, ezért nekünk m helyére végtelent kellene írni, ami megint nem egy működő dolog, úgyhogy itt is határértéket kell számolnunk. Tehát ezt tudjuk felírni:

lim (1+10,1/m)^m -1

m->végtelen

Most a (-1)-gyel ne is foglalkozunk, sok vizet nem zavar a történetben, a végén is ráérünk levonni, így csak ezzel foglalkozzunk:

lim (1+10,1/m)^m

m->végtelen

Ahhoz, hogy ezt a határértéket meg tudjuk határozni, tudnunk kell erről a tételről: a

lim (1+1/n)^n

n->végtelen

határérték értéke az Euler-féle szám, amit e-vel jelölünk. Ez egy irracionális szám, értéke kerekítve 2,72. Bővebben:

[link]

Amire nekünk szükség van: a feladatunkkat ilyen alakú hatáértékre kell alakítanunk. Az kell, hogy

-a tört számlálójában 1 legyen,

-a nevezőben és a kitevőben ugyanaz a kifejezés szerepeljen.

Ennek megfelelően:

1) A törtet egyszerűsítsük 10,1-del:

(1 + 1/(m/(10,1))^m

2) A kitevőben lévő m-ből m/10,1-et kell csinálnunk. Ezt a legegyszerűbben a hatványozás azonosságai alapján tudjuk megcsinálni; hatványozzuk a kifejezést 1/10,1-del, de hogy értéke ne változzon, 10,1-gyel is kell hatványoznunk:

(((1 + 1/(m/10,1))^m)^(1/10,1))^10,1

Ha itt elvégeznénk a hatványozás azonosságai szerinti beszorzásokat, akkor az eredetit kapnánk vissza. Azonban mi csak a belső hatványok kitevőit szorozzuk össze:

[(1 + 1/(m/10,1))^(m/10,1)]^10,1

A szögletes zárójelben lévő rész az, amit mi el akartunk érni. Erről tudjuk a tétel alapján, hogy e-hez tart. Emiatt az egész pedig az e^10,1 számhoz fog tartani, ami kerekítve 24343. Ebből még levonunk 1-et, így 24342-t kapunk, tehát egy évre nézve a kamatperiódus 2434300%.

Ellenőrzés:

[link]