25 ember között 5 jutalmat osztunk ki. A jutalmak egyformák, és egy ember több jutalmat is kaphat. Hány féleképpen tehetjük ezt meg?

Esetszétválasztás.

Ha mind az 5öt egy embernek adjuk: 25 féle képpen

4-1: 25*24

3-2: 25*24

3-1-1: 25*24*23/2

2-2-1: 25*24*23/2

2-1-1-1: 25*24*23*22/6

1-1-1-1-1: 25*24*23*22*21/5!

--------------------------ezeket összeadni

5!=5*4*3*2*1

Nem magyaráztam, szólj, ha nem érted és akkor magyarázok.

[link]

[link]

(25+5-1 alatt 5)=(29 alatt 5)=118755

Az első megoldása jó, és a megadott adatok mellett lehet is így számolni, de belátható, hogy több ajándéknál/embernél már ez a fajta esetszétválasztás szinte kivitelezhetetlen.

Ha a feladattípust bármikor meg szeretnénk tudni oldani, akkor az ismétléses kombináció bugyraiban kell elmerülnünk. Az alapján a megoldás így néz ki:

A 25 embert elválasztjuk 24 pálcikával, ezután a pálcikák közé karikákat rajzolunk. Két pálcika közé annyit, ahány ajándékot az adott ember kapna, tehát ha 3-at, akkor 3 karikát.

Minden ilyen rajzolásnál kapunk egy 24 pálcikából és 5 karikából álló jelsort. Minden kiosztáshoz pontosan 1 jelsor tartozik, és minden jelsorból egyértelműen kiolvasható, hogy ki hány ajándékot kapott (kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés van). Így ha a jelsorok számát meg tudjuk határozni, akkor a kiosztási lehetőségeket is.

Az ismétléses permutációnál tanultak alapján így 29!/(24!*5!)=118.755-féle lehetőség van, ami megfelel a (29 alatt az 5)-nek is.

Az ismétléses kombináció képlete; ha k helyre kell n elemet elhelyezni ismétéses kombinációban, akkor azt (k-1+n alatt az n)-féleképpen lehet megtenni. A k-1+n azért van benne a képletben, mert a k helyet k-1 darab pálcikával választjuk el egymástól, amik közé n darab karikát írunk, így a k-1 darab pálcikát és n darab karikát, összesen k-1+n darab jelet kell permutálni.