Hány elemből állíthatunk elő 1365 kvaternót?

Ha jól értem, akkor különböző elemből álló négyeseket úgy, hogy nem számít a sorrendjük. Ebben az esetben kombinációt kell számolni, ahol k=4.

Tehát

(n alatt a 4) = 1365, definíció szerint átírjuk:

n!/(4!*(n-4)!) = 1365, egyszerűsítünk (n-4)!-sal:

n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/24 = 1365, szorzunk 24-gyel:

n*(n-1)*(n-2)*(n-3) = 32760

Ha kibontanánk a zárójeleket, akkor egy negyedfokú egyenletet kapnánk, amivel nem egyszerű számolni. Mivel n pozitív egész (pontosabban n>=4), ezért egyéb számítási lehetőségek is vannak.

Az egyik lehetséges megoldás, hogy felírjuk a 32760 prímtényezős felbontását;

32760 = 2^3 * 3^2 * 5 * 7 * 13

Ha jobban megnézzük, akkor gyakorlatilag 4 egymást követő számot kell összeszorozni. A 13 prímszám. Haennek többszöröse szerepelne a szorzatban (26, 39, stb.), akkor a legkisebb szám a 23 lenne, 23*24*25*26=358800, ami több, mint 32760, és a szorzat ennél csak több lehet, tehát a 13-nak szerepelnie kell a szorzatban.

Mivel 7-tel is osztható, a 7 és a 13 pedig messze van egymástól, ezért a 14-nek is benne kell lennie a szorzatban. 11-gyel viszont nem osztható, tehát a szorzatban fellelehető legkisebb tényező a 12 lehet.

Innen már lehet próbálgatni;

12*13*14*15=32760, kész is vagyunk. Tehát n=15, így 15 elemből tudunk 4-et 1365-féleképpen kiválasztani.

Másik megoldás, hogy becsüljük a bal oldalt, ezt így tudjuk megtenni;

(n-3)^4 <= n*(n-1)*(n-2)*(n-3) <= n^4, a közepének az értéke 32760, tehát

(n-3)^4 <= 32760 <= n^4, negyedik gyököt vonunk:

n-3 <= 13,45 < n, kétfelé szedhetjük az egyenlőtlenséget;

egyrészt 13,45 < n, másrészt n-3 <= 13,45, vagyis n<=16,45, tehát n lehetséges értékei: 14, 15, 16, ezeket tudjuk végigpróbálni;

16*15*14*13=43680, ez nem jó

15*14*13*12=32760, ez lesz a jó.

Ha a számok sorrendje számít, akkor az az egyenlet így módosul:

n*(n-1)*(n-2)*(n-3) = 1365. Mivel kis számról van szó, akár próbálgatással is meg lehet oldani, ekkor ezt kapjuk:

8*7*6*5 = 1680

7*6*5*4 = 840, a kettő között van az 1365, tehát ebben az esetben nincs megoldás.