Mi a megoldás? Milyen mély a szakadék?

#1: A kő először t1 ideig zuhan, majd a becsapódás hangja t2 ideig közeledik. A kettő együtt 4,25s.

s = g/2 * t1^2 => s = 5 * t1^2 (g = 10 m/s^2-et feltételezve)

s = c * t2 => s = 320 * t2

A két képlet azonos utat feltételez, ezért egyenlőek: 5 * t1^2 = 320 * t2

Fejezzük ki, mondjuk, t2-t t1 segítségevel: t2 = 4,25 - t1

Helyettesítsük be:

320 * (4,25 - t1) = 5 * t1^2

Ebből a másodfokú egyenletből t1 = 4s lesz (a másik gyök negatív, ami nem lehetséges e feladat megoldása szempontjából)

Ebből adódik, hogy t2 = 4,25 - 4 = 0,25s

Mivel s = 320 * t2, ezért s = 320 * 0,25 = 80m.

A szakadék tehát 80 méter mély.

4,25 s = t_kőle + t_hangfel

g = 10 m/s²

t_kőle > 0, t_hangfel > 0

s = (g/2)·t² = c(4,25-t) -> (g/2)·t² = c(4,25-t) -> 0=t²+64t-256

Bocs, de nem gondoltam, hogy valakit érdekel a megoldásom, ezért nem figyeltem a feladatot, emiatt a késői reagálás.

A probléma nem új dolog, 2011-ben ill. 2012-ben találkoztam vele. Úgy emlékszem, az akkori megoldások ugyanazt a stratégiát alkalmazták, mint a mostani válaszoló, de kíváncsi voltam, hogyan nézne ki egy, a magasságot adó zárt megoldás. Ennek a kíváncsiságnak az eredménye látható a továbbiakban.

1) Milyen mély a kút, ha a beleejtett kő csobbanását T idő múlva hallani?

************************************************************************

Legyen

tg - a szabadesés ideje [s]

th - a hang felérkezési ideje [s]

T - a mért idő (a két idő összege) [s]

h - a kút mélysége [m]

g = 9,81 [m/s²]

v = 343 m/s - a hangsebesség 20 °C-on

h = f(v, T) = ?

T = tg + th

ahol

tg = √(2h/g)

th = h/v

Tehát a

T = √(2h/g) + h/v

egyenletből kell meghatározni a 'h' értékét.

A levezetést mellőzve

h = A[(T*B + 1) - √(2T*B + 1)] [m]

ahol

A = v²/g

B = g/v

A képlettel tetszőleges v, g és T érték esetén számítható a magasság.

A hangsebességet v = 343 m/s-nek véve a következő, nagyon jó közelítést adó formula adódik:

h = 12000[(1 + T/35) - √(1 + 2T/35)] [m]

Látható, hogy ebben már csak az összidő a változó.

Ezt a feladatot 2011-ben találtam, de egy év múlva jött a következő:

2) Kategória: Tudományok > Természettudományok

Feladat: Hogyan kell megoldani? Egy követ dobunk a szakadékba 5 m/s sebességgel és a koppanást 9,1 secundum múlva halljuk! Milyen mély a szakadék?

************************************************************************

Ez még általánosabb, mert a leeső tárgy kezdő sebessége nem nulla.

Az előző példa levezetését kiegészítve az új változóval, a következő képlet adódott:

h = A{(1 + v0/v + T*B) - √[(1 + v0/v)² + 2T*B]}

v0 = esetén az előző feladat megoldása adódik.

Dióhéjban, mondhatnám zanzásítva ennyi lenne a válaszom; ha van valami ötleted, szívesen veszem.

DeeDee

**********