Hogyan kell megoldani 2,3,6 feladatokat?

Akkor talán ezt megérted;

2) Értelmezési tartomány: amikor ez a kérdés, akkor gyakorlatilag azt kérdezik, hogy milyen számok esetén végezhető el minden művelet. Például az 1/x esetén x helyére bármilyen valós számot írhatunk, kivéve a 0-t, mivel az 1/0 művelet értéke nem meghatározható.

Hogy melyik művelet milyen számokon értemezett (vagyis milyen számokkal végezhető el), azt sajnos külön meg kell tanulni, de egy kis utánagondolással azért rá lehet jönni.

A logaritmusról tudjuk, hogy az exponenciális függvény inverze; az

f(x) = 2^x

inverze a

g(x) = log(2)[x] függvény. Ha nem tudod, mi az az inverz, akkor kitárgyaljuk.

A lényeg az, hogy minden expponenciális függvénynek van inverze; általánosan az

f(x) = a^x

függvény inverze a

g(x) = log(a)[x], vagyis "a alapú logaritmus x".

Definíció szerint azonban az exponenciéis függvényeket csak nemnegatív alappal tudjuk értelmezni, így a logaritmus alapja nem lehet negatív. Ami még sarkallatos pont a kérdésban, az az a=0 és a=1 esetén, ugyanis a 0^x=0 és 1^x=1 függvények nem úgynevezett kölcsönösen egyértelmű függvények (és ez még csak a kisebbik baj), így az a=0 és a=1 esetén az inverzet nem tudjuk értelmezni. Tehát a logaritmus alapja csak pozitív lehet, de 1-től különböző.

Ha viszont az alap mindenképp pozitív, akkor csak pozitív számok logaritmusát tudjuk értelmezni, elvégre a pozitív számok minden (valós) hatványa pozitív.

Ezek alapján azt mondhatjuk, hogy a log(a)[x] kifejezés értelmezési tartománya:

a>0 de a=/=1 és

x>0

Ezeknek a feltételeknek kell teljesülniük a kérdéses kifejezés esetén is, tehát:

az alapra vonatkozóan: 1-x>0, vagyis 1>x, illetve 1-x=/=1, vagyis x=/=0.

a logaritmuson belüli számra vonatkozóan: -x^2+4>0, erre -2<x<2 megoldást kapjuk.

A két egyenlőtlenségnek egyszerre kell teljesülnie. Hogy meglássuk ezek metszetét, érdemes számegyenesen jelölni őket, és azok a pontok kellenek nekünk, amelyek mindkét esetben kelölve voltak. Erre a válasz: -2<x<1, de x=/=0. Ezzel kész a feladat.

3) Ez egy sima másodfokúra visszavezethető egyenlet; ha a z=x^2 helyettesítést használjuk, akkor z^2=x^4, így az egyenlet:

z^2+8z-9=0, ennek akár ránézésre is meg lehet mondani, hogy z=1 és z=-9 a megoldásai, de a megoldóképlettel is kijön. Ha ez megvan, akkor vissza kell helyettesíteni a z=x^2 egyenletben;

1=x^2, ennek két megoldása x=1 és x=-1

-9=x^2, ennek pedig x=3i és x=-3i a két megoldása.

Negyedfokú egyenletnek pontosan 4 komplex gyöke van, így megtaláltuk az összeset.

6) Amikor ilyen feladat van, akkor általában a

sin^2(x)+cos^2(x)=1 azonosságra érdemes először gondolni. Írjuk át valamelyik szinuszt koszinusszá, ehhez a

sin(x)=cos(90°-x)

azonosságot kell használni. Esetünkben;

sin(35°)=cos(90°-35°)=cos(55°), így az eredeti feladat:

cos^2(55°)+sin^2(55^), ami a fenti azonosság alapján pont 1-gyel egyenlő. Ha nem hiszed, írd be a számológépbe.