Hány olyan hatjegyű szám van a 182 többszörösei között, melyben az első három számjegyből álló háromjegyű szám megegyezik az utolsó három számjegyből álló háromjegyű számmal?

Legyen a háromjegyű szám! A keresett szám 1001a. A 182 többszöröse 182b

A feladat szerint:

1001a=182b

7*11*13*a=2*7*13*b

11a=2b => b=11c, a=2d

22d=22c

d=c

100<=2d<=999

50<=d<=499

450 ilyen szám van.

100100; 102102; 104104; ...; 998998

A megoldásból kitűnhet, hogy a keresett számhalmaz elemei számtani sorozatot alkotnak. Ez nem is csoda, elvégre az azonos maradékosztályba tartozó számok mind számtani sorozatot alkotnak.

A kérdező számára nem feltétlenül triviális, hogy a keresett szám miért 1001*a alakú. Ezt boncolgassuk egy kicst;

Az triviális, hogy a hatjegyű számot abcabc alakban keressük, ahol a=/=0, egyébként a betűk 0 és 9 közé eső egész számok. Ezt a számot át tudjuk írni helyiérték szerinti összegként; 100000*a+10000*b+1000*c+100*a+10*b+c, összevonás után 100100*a+10010*b+1001*c, ebből az összegből pedig kiemelhető 1001: 1001*(100*a+10*b+c), ami 1001*abc alakban felírható, ahol abc egy háromjegyű szám.

Ez azt jelenti, hogy a kérdéses számok 1001-gyel oszthatóak (vagyis felírhatóak 1001*A alakban (direkt nagy A-t írtam, hogy a kis a-tól megkülönböztethető legyen).

Azt is tudjuk, hogy a hatjegyű számok oszthatóak 182-vel, mivel a 182-nek (egész számú) többszörösei. Azt már korábbról tudjuk, hogy

Tétel: ha egy szám a-nak és b-nek is többszöröse, akkor [a;b]=lkkt(a;b)-nek is többszöröse, vagyis a két szám legkisebb közös többszörösének. Ennek megfelelően számoljuk ki a 182 és az 1001 legkisebb közös többszörösét:

182=2*7*13

1001=11*7*13, így a legkisebb közös többszörös a tanultak alapján a 2*7*11*13=2002.

Innentől gyakorlatilag az a feladat, hogy hatjegyű, 2002-vel osztható számokat kell keresnünk. A legkisebbet úgy tudjuk a leghamarabb megtalálni, hogy a legkisebb hatjegyű számot, vagyis a 100000-t elosztjuk maradékosan 2002-vel; 49-szer van meg, és marad 1902, tehát 100-at kell még hozzárakni, hogy osztható legyen 2002-vel, így a 100100 számot kapjuk. A további számokat úgy kapjuk, hogy 2002-vel növeljük őket, vagyis a fenti számsort kapjuk, általánosan pedig 100100+2002*d alakban tudjuk a számokat megadni, ahol d értéke nemnegatív egész. Azt kell még elérnünk, hogy ez az összeg ne legyen 999999-nél nagyobb, tehát már csak ezt az egyenlőtlenséget kell megoldanunk;

100100+2002*d <= 999999, rendezés után

d <= 449,5 adódik, tehát d értékei 0-tól 449-ig terjedő egész számok. Ebben a számhalmazban pontosan 450 szám van, tehát 450 olyan hatjegyű szám létezik, amely a feltételeknek megfelel.