Mi a következő számok helyettesítési értéke? A, B, x-2_5 3 _ 2 _ 4 --- - ha x=1 a másik - --- ha x=2 x x p p+2

Szívesen, és én is köszönöm a bíztatást. Ha akarod, elmondhatom a negatív számok szorzási, osztási szabályát a fogaskerék-áttételek példáján, mert úgy talán sokkal szemléletesebb.

[link]

Minden egyes fogaskerékáttétel tulajdonképpen egy doboz, aminek van egy bemenő, meg egy kimenő tengelye. Ha a bemenő tengelyt körbeforgatom egyszer, a kimenő tengely körbeforog (ugyanabban az irányban) kétszer. Ez a kettes áttét.

Van hármas áttét is: ha ennek a bemeneti tengelyét egyszer megforgatom, akkor ennek a kimenő tengelye háromszor fordul körbe (ugyanabban az irányban).

Meg vannak fordítós áttétek is. Olyan áttét, aminek a bemenő tengelyét ha egyszer megforgatom, akkor a kimenő tengelye kétszer körbefordul ELLENTÉTES IRÁNYBAN. Ez a mínusz kettes áttétel.

Most, hogy van néhány áttételünk, rajuk őket össze. Például rakjunk össze egy kettes áttételt és egy hármas áttételt. Vagyis: a kettes áttétel kimenő tengelyét hegesszük egybe a hármas áttétel bemenő tengelyével.

Most forgassuk meg a kettes áttétel bemenő tengelyét egyszer. A kettes áttétel kimenő tengelye körbefordul kétszer. Ez a tengely azonban egybe van hegesztve a hármas áttétel bemenő tengelyével, tehát a hármas áttétel bemenő tengelye is körbe fog fordulni kétszer. Más szóval: ez afféle ,,közös'' tengely, ami egyúttal a hármas áttét bemenő tengelye is, márpedig a hármas áttét úgy viselkedik, hogy a bemenő tengelyének minden egyes fordulatára a kimenő tengelye háromszor fog körbefordulni. És mivel a közös tengely összesen két fordulatot tesz meg, ezért a hármas áttét kimenő tengelye kétszer fogja megtenni ezt a hármas körbefordulást, vagyis összesen hatszor fog körbefordulni.

Összegezve a megfigyelést: ha egy kettes áttételt egybehegesztem egy hármas áttétellel, akkor hatos áttételt kapok. Az áttételek összekapcsolása tehát éppen úgy viselkedik, mint a szorzás.

Idáig ez nem volt nagy újdonság, de most vegyük elő a negatív számokat.

Mi történik, ha egy mínusz kettes áttételt hegesztek egybe egy hármas áttétellel? Nagyjából ugyanaz, mint az előbb -- a közös tengely kétszer fog körbefordulni, a végső kimenő tengely pedig hatszor. Ami más lesz, az a forgásirány. Mert a mínusz kettes áttétel MEGFORDÍTJA a forgásirányt, a hármas áttétel pedig ezt a megfordított forgásirányt nem fordítja vissza, hanem úgy hagyja. A közös tengely tehát ELLENTÉTES IRÁNYBAN fog kettőt fordulni, a végső kimenő tengely pedig szinté megtartja ezt a megfordított forgásirányt, és abban az irányban fog hatot fordulni. Tehát ez afféle fordítós áttételként viselkedik: mínusz hatos áttételként.

Mi történik, ha egy mínusz kettes áttételt hegesztek egybe egy mínusz hármas áttétellel? Nagyjából ugyanaz, mint az előbb, azzal a különbséggel, hogy itt mindkét áttétel megfordítja a forgásirányt, tehát a második áttétel pont visszafordítja az első áttétel által már megfordított forgásirányt. Ez tehát fog fordítós áttételként viselkedni , hanem sima hatos áttételként.

No, így lehet szemléletesen elképzelni a negatív és pozitív számoknak azt a furcsa szorzási szabályát:

⁺2 ⋅ ⁺3 = ⁺6

⁻2 ⋅ ⁺3 = ⁻6

⁺2 ⋅ ⁻3 = ⁻6

⁻2 ⋅ ⁻3 = ⁺6

Ezek közül, gondolom, a legutolsó a legmeglepőbb (negatívszor negatív az pozitív), azért is mondtam el a fogaskerék-áttételes példát, mert az az talán szemléletessé teszi.

Ez lenne a szorzás, de, gondolom, a példa alapján, Téged jobban érdekelnek a törtek és az osztás (viselkedésük, törvényszerűségeik, mi miért van úgy náluk). A törteket és az osztást is lehet szemléltetni a fogaskerék-áttételek példázata alapján, ha érdekel, szívesen elmondom. Ha nem, akkor csak annyit mondok, hogy

* A ¾ (háromnegyed) törtnek olyan fogaskerék-áttétel felel meg, aminek a bementeti tengelyét négyszer körbeforgatva, a kimeneti tengely háromszor fordul körbe ugyanabban az irányban.

* Ha egy áttételt ,,pont fordítva kötök be'' (véletlenül a kimeneti tengelyét tekintem bemeneti tengelynek, és viszont), akkor pont a reciprok törteket kapom. Tehát a kettes áttételből így pont feles áttétel válik, a háromnegyedes áttételből pedig négyharmados.

* Az osztás itt is ,,keresést'' jelent, de ha ezt valaki nem szereti, akkor az osztást mindig szimulálhatom reciprok törttel való szorzásként is. Tehát a kettő osztva három helyett mindig írhatok kettő szorozva egyharmadot is. Szóval az osztást úgy is elképzelhetem, hogy egy áttételhez ,,fordítva bekötve'' kötöm hozzá a másik áttételt.

Ez persze csak a tömör ismertetés, a lényeg inkább a részletekben van, amiket egyenként el kell képzelni, vagy lerajzolni. Az a lényeg, hogy ezek a kis mechanikus dögök elég jól szemléltetik az igazi törtek szorzási és osztási szabályait, beleértve az egyszerűsítési és előjel-kezelési szabályokat is.

Ahhoz, hogy ez a példa

[link]

érthetővé váljék, ahhoz el kell mondani pár dolgot a törtekről.

Odáig még ugyanaz a menet, mint az előző példákban, hogy kijöjjön a

²*³⁻³/₃₊₁ - ³*³⁺²/₃₋₁

kifejezés. Itt egyszerűen csak annyit tettem, hogy mindenhova a konkrét 3-as értéket helyettesítettem be az ,,a'' határozatlan helyébe.

Az a nehézség ez előző példákhoz képest, hogy itt már nemcsak egész számok vannak, hanem törtek is. Tulajdonképpen két tört különbségéről van szó. A törtek összege, különbsége valóban új fogalom. Majd később elmondom, mit is jelent ez, de először egyelőre nézzük meg az egyes törteket külön-külön. A különbségüket később is ráérünk kiszámítani.

Az egyes törteket kiszámíthatjuk, úgy, hogy az egyes törtek számlálóiban, és nevezőiben álló értékeket egyenként kiszámíthatjuk:

Első tört (²*³⁻³/₃₊₁):

Számlálója (2·3 - 3):

2·3 - 3 = 3 (két hármas, abból elvéve egy hármast, megmarad egy hármas)

Nevezője (3 + 1):

3 + 1 = 4

Tehát maga a tört:

²*³⁻³/₃₊₁ = ³/₄ = ¾

Második tört (³*³⁺²/₃₋₁):

Számlálója (3·3 + 2):

3·3 + 2 = 9 + 2 = 11

Nevezője (3-1):

3 - 1 = 2

Tehát maga a tört:

³*³⁺²/₃₋₁ = ¹¹/₂

Most már megvan külön-külön a két tört. Tehát, az eredeti teljes kifejezést (²*³⁻³/₃₊₁ - ³*³⁺²/₃₋₁) immár sikerült ilyen alakban felírnunk:

²*³⁻³/₃₊₁ - ³*³⁺²/₃₋₁ = ¾ - ¹¹/₂

Azonban most jön csak a neheze: törtekkel való számolás. De egyáltalán mik is azok a törtek?

Itt a legjobb, ha elképzelünk egy példát törtekre. Mit is jelent az, hogy ¾?

¾ = ?

Olyan szám, amit ha megszorzok 4-gyel, akkor 3-at kapok:

4·? = 3

Van-e egyáltalán ilyen szám? Nézzünk egy hétköznapi példát.

Például ha egy egész tortát

█

négy részre vágok

▘ ▘ ▘ ▘

aztán ezekből a negyedekből hármat veszek

▘ ▘ ▘, az egyszerűség kedvéért össze is rakom őket ilyen alakba ▜

szóval egy ilyen ▜ háromnegyedrész tortadarabot kapok, No és ez a háromnegyed tortadarab tényleg pont az a mennyiség, amit négyszeresen összetéve éppen össze lehetne rakni belőlük három egész eredeti tortát:

▜ ▜ ▜ ▜ = █ █ █

Úgy is el lehet képzelni, hogy a kis kilógó ,,fogacskákat'' és ,,foghíjakat'' pont egymásba csúsztatom:

▙ ▜ ▙ ▜ = ▙▜▙▜ = ███ = █ █ █

talán egymás alatt jobban látszik

▙ ▜ ▙ ▜

▙▜▙▜

███

█ █ █

Lehet látni, hogy a négy darab háromnegyedes darab pont két fogacskányi távolságot ,,húzódik összefelé'', és mivel egy fogacska szélessége épp a nagy, teljes négyzet fele, ezért az összecsúsztatás során pont egy teljes négyzetnyi a látszólagos ,,zsugorodás'' hossza, ezért aztán a végeredmény pont három teljes négyzet tesz ki.

De talán egyszerűbb úgy elképzelni, hogy a háromnegyedet megnégyszerezhetjük úgy is, hogy az egyes negyedeket külön-külön megnégyszerezzük: ekkor külön-külön minden egyes negyedrészből egy-egy teljes eredeti nagynégyzet nől ki, tehát a három negyeddarab együttesen végül éppen három nagynégyzetté egészül ki:

▖↗ █

tehát

▖↗ █

▖↗ █

▖↗ █

együtt ábrázolva

▖▖▖ ⇶ █ █ █

vagyis

▙ ⇨ ███

Szóval tényleg igaz, hogy a ¾ éppen az a szám, amelynek a négyszerese pont 3-at ad.

Most térjünk vissza a példára. Az új példában a nehézséget az jelentette, hogy itt már nem egész számokat, hanem törteket kell kivonni egymásból. De mit is jelet egyáltalán a törtek kivonása, összeadása?

Nyilván akkor könnyű törteket összeadni, kivonni, ha véletlenül éppen ,,ugyanolyan jellegűek''. Negyedeket negyedekből, harmadokat harmadokból könnyű kivonni, összeadni.

Például: mennyi háromnegyed meg egynegyed?

¾ + ¼ = ?

Nézzük szemléletesen:

háromnegyedhez ▜

egynegyedet hozzávéve ▗

éppen négy negyedet ▗▜ kapok,

ezeket meg könnyedén ,,összetolhatom'' egy eredeti egésszé █.

Tehát háromnegyed meg egynegyed éppen egy egész:

¾ + ¼ = 1.

Képekkel ábrázolva újra:

▗ + ▜ = ▗▜ = █

¼ + ¾ = ⁴/₄ = 1

Észrevehetünk mindjárt egy érdekes szabályt:

¼ + ¾ = ⁽¹⁺³⁾/₄ = ⁴/₄ = 1

Látszik, hogy a számlálókat egész egyszerűen összeadhatjuk. Ezt a kényelmet azonban csak akkor élvezhetjük, ha mindkét összeadandó tört nevezője ugyanaz. Vagyis: ha az összeadandó törtek ,,ugyanolyan jellegűek'': valahányharmadok valahányharmadokkal, valahánynegyedek valahánynegyedekkel...

Most jön az igazán érdekes dolog. Hogyan adunk össze, vonunk ki ,,különböző jellegű törteket''? Mondjuk valahánynegyedet és valahánykettedet?

Mennyi mondjuk fél és negyed?

¼ + ½ = ?

▗ + ▌ = ?

Toljuk össze őket:

▖ ▐

▖ ▌

▖▐

▖▌

▟

Szemléletesen már sejthető, hogy éppen háromnegyed ▟ az eredmény, de jó lenne látni pontosan is, hogy mi ennek a magyarázata.

A lényeg az, hogy a felet ▐ szétvághatjuk két negyedre ▖▖

Ennek megfelelően a fél és a negyed

▌▖

éppen annyit tesz ki,

mint két negyed és még egy negyed

▖

▘ ▘

összegezve látszik, hogy ez együttesen ténylwg három darab negyed

▖

▘▘

vagyis háromnegyed

▙

Tehát

¼ + ½ = ¾

▖ + ▌ = ▟

Ennyi bevezető után visszatérhetünk magára a példára.

Éppen az eredeti példában volt ehhez nagyon hasonló ilyen kérdés:

¾ - ¹¹/₂ = ?

▟ - ▌▌▌▌▌▌▌▌▌▌▌ = ?

Itt is ugyanez a trükk segít: vágjuk szét a tizenegy kettedet (tizenegyfélrészt) negyedes részekre! Vagyis minden egyes félrészt vágjunk még egyszer ketté!

Ilyen volt,

▌▌▌▌▌▌▌▌▌▌▌

ilyen lesz:

▖▖▖▖▖▖▖▖▖▖▖

▘▘▘▘▘▘▘▘▘▘▘

Vagyis a 11 db félrészből kaptam 22 negyedrészt: ¹¹/₂ = ²²/₄

A háromnegyedre ▟ is gondoljunk úgym mint három darab negyedre ▘▘▘

Most már egyszerű a dolgom:

▖▖▖

a három darab negyedrészből el kell vennem

▖▖▖▖▖▖▖▖▖▖▖

▘▘▘▘▘▘▘▘▘▘▘

huszonkét darab negyedrészt.

³/₄ - ²²/₄ = ?

Persze, ha a negyedrészekre úgy gondolok, mint tortaszeletekre, akkor ilyet nem lehet csinálni: kevesebb tortából nem lehet többet megenni, mint ami van. De most tekintsünk inkább úgy ezekre a kis alakocskákra, mint lépcsőfokokra. Olyanokra, amilyenek a gyerekklinikák előtt vannak néha: a nagy felnőttlépcső mellett van egy kis lépcső (gyereklépcső), amelynek negyed olyan kicsik a fokai (a felnőttlépcső minden egyes fokára négy gyereklépcsőfok jut).

Szóval ha 3 gyereklépcsőfokot FELmegyek, és aztán rögtön 22 gyereklépcsőfokot LEmegyek, az ugyanolyan, mintha eleve csak 19 gyereklépcsőfokot mentem volna lefelé (képzeletben ,,kihagyjuk a különbözetet''):

⇧ ⇧ ⇧

és

⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩

egymás után pont úgy hat, mintha eleve

⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩

Ezt a fogalmat már kifejezhetjük a negatív számok révén:

3 - 22 = -19

pontosabban, mivel itt mindvégig negyedekről (negyedlépcsőfokokról) van szó, azért inkább

³/₄ - ²²/₄ = -¹⁹/₄

És valóban, a példa megoldása tényleg ennyi:

[link]

Persze lehet, hogy más példák is előjönnek majd az iskola során, amelyek bonyolultabbak lesznek. PéldáuL:

Menni egyharmad meg fél?

⅓ + ½ = ?

Mintha egyharmad tortaszeletet, meg egy fél tortadarabot kéne összetolni, és megmondani róluk, hogy az minek felel meg.

Itt ezt úgy lehet jól megtenni. hogy a tortát eleve nem fél, és nem is harmad részekre kell szétvágni, hanem hatodrészekre! Ez azért jó, mert a hatodos tortaszeletekből könnyű kirakni a felet is (három darab tortahatod éppen fél torta), meg a haramdot is könnyű kirakni belőlük (két darab tortahatod együtt éppen egy tortaharmadot alkot). A hatodok révén tehát ki tudom úgy fejezni a feladatot, hogy az könnyen megodhatóvá váljék.

Tehát ha azt kérdezem, mennyi egy tortaharamd és egy tortafél, az olyan, mintha azt kérdezném, mennyi összesen két tortahatod és három tortahatod. Hát az összesen öt tortahatod. Mindezt jelekkel is leírom:

⅓ + ½ = ?

⅓ = ²/₆

½ = ³/₆

⅓ + ½ = ²/₆ + ³/₆ = ⁽²⁺³⁾/₆ = ⁵/₆

⅓ + ½ = ⅚

Ez a lényeg, úgy hívják ezt a trükköt, hogy törtek közös nevezőre való hozása, ezt a trükköt rendszeresen elsütjük akkor, amikor (különböző nevezőjű) törteket kell egymással összeadnunk, vagy kivonnunk.

Ahhoz, hogy ez a példa

[link]

érthetővé váljék, ahhoz el kell mondani pár dolgot a törtekről.

Odáig még ugyanaz a menet, mint az előző példákban, hogy kijöjjön a

²*³⁻³/₃₊₁ - ³*³⁺²/₃₋₁

kifejezés. Itt egyszerűen csak annyit tettem, hogy mindenhova a konkrét 3-as értéket helyettesítettem be az ,,a'' határozatlan helyébe.

Az a nehézség ez előző példákhoz képest, hogy itt már nemcsak egész számok vannak, hanem törtek is. Tulajdonképpen két tört különbségéről van szó. A törtek összege, különbsége valóban új fogalom. Majd később elmondom, mit is jelent ez, de először egyelőre nézzük meg az egyes törteket külön-külön. A különbségüket később is ráérünk kiszámítani.

Az egyes törteket kiszámíthatjuk, úgy, hogy az egyes törtek számlálóiban, és nevezőiben álló értékeket egyenként kiszámíthatjuk:

Első tört (²*³⁻³/₃₊₁):

Számlálója (2·3 - 3):

2·3 - 3 = 3 (két hármas, abból elvéve egy hármast, megmarad egy hármas)

Nevezője (3 + 1):

3 + 1 = 4

Tehát maga a tört:

²*³⁻³/₃₊₁ = ³/₄ = ¾

Második tört (³*³⁺²/₃₋₁):

Számlálója (3·3 + 2):

3·3 + 2 = 9 + 2 = 11

Nevezője (3-1):

3 - 1 = 2

Tehát maga a tört:

³*³⁺²/₃₋₁ = ¹¹/₂

Most már megvan külön-külön a két tört. Tehát, az eredeti teljes kifejezést (²*³⁻³/₃₊₁ - ³*³⁺²/₃₋₁) immár sikerült ilyen alakban felírnunk:

²*³⁻³/₃₊₁ - ³*³⁺²/₃₋₁ = ¾ - ¹¹/₂

Azonban most jön csak a neheze: törtekkel való számolás. De egyáltalán mik is azok a törtek?

Itt a legjobb, ha elképzelünk egy példát törtekre. Mit is jelent az, hogy ¾?

¾ = ?

Olyan szám, amit ha megszorzok 4-gyel, akkor 3-at kapok:

4·? = 3

Van-e egyáltalán ilyen szám? Nézzünk egy hétköznapi példát.

Például ha egy egész tortát

█

négy részre vágok

▘ ▘ ▘ ▘

aztán ezekből a negyedekből hármat veszek

▘ ▘ ▘, az egyszerűség kedvéért össze is rakom őket ilyen alakba ▜

szóval egy ilyen ▜ háromnegyedrész tortadarabot kapok, No és ez a háromnegyed tortadarab tényleg pont az a mennyiség, amit négyszeresen összetéve éppen össze lehetne rakni belőlük három egész eredeti tortát:

▜ ▜ ▜ ▜ = █ █ █

Úgy is el lehet képzelni, hogy a kis kilógó ,,fogacskákat'' és ,,foghíjakat'' pont egymásba csúsztatom:

▙ ▜ ▙ ▜ = ▙▜▙▜ = ███ = █ █ █

talán egymás alatt jobban látszik

▙ ▜ ▙ ▜

▙▜▙▜

███

█ █ █

Lehet látni, hogy a négy darab háromnegyedes darab pont két fogacskányi távolságot ,,húzódik összefelé'', és mivel egy fogacska szélessége épp a nagy, teljes négyzet fele, ezért az összecsúsztatás során pont egy teljes négyzetnyi a látszólagos ,,zsugorodás'' hossza, ezért aztán a végeredmény pont három teljes négyzet tesz ki.

De talán egyszerűbb úgy elképzelni, hogy a háromnegyedet megnégyszerezhetjük úgy is, hogy az egyes negyedeket külön-külön megnégyszerezzük: ekkor külön-külön minden egyes negyedrészből egy-egy teljes eredeti nagynégyzet nől ki, tehát a három negyeddarab együttesen végül éppen három nagynégyzetté egészül ki:

▖↗ █

tehát

▖↗ █

▖↗ █

▖↗ █

együtt ábrázolva

▖▖▖ ⇶ █ █ █

vagyis

▙ ⇨ ███

Szóval tényleg igaz, hogy a ¾ éppen az a szám, amelynek a négyszerese pont 3-at ad.

Most térjünk vissza a példára. Az új példában a nehézséget az jelentette, hogy itt már nem egész számokat, hanem törteket kell kivonni egymásból. De mit is jelet egyáltalán a törtek kivonása, összeadása?

Nyilván akkor könnyű törteket összeadni, kivonni, ha véletlenül éppen ,,ugyanolyan jellegűek''. Negyedeket negyedekből, harmadokat harmadokból könnyű kivonni, összeadni.

Például: mennyi háromnegyed meg egynegyed?

¾ + ¼ = ?

Nézzük szemléletesen:

háromnegyedhez ▜

egynegyedet hozzávéve ▗

éppen négy negyedet ▗▜ kapok,

ezeket meg könnyedén ,,összetolhatom'' egy eredeti egésszé █.

Tehát háromnegyed meg egynegyed éppen egy egész:

¾ + ¼ = 1.

Képekkel ábrázolva újra:

▗ + ▜ = ▗▜ = █

¼ + ¾ = ⁴/₄ = 1

Észrevehetünk mindjárt egy érdekes szabályt:

¼ + ¾ = ⁽¹⁺³⁾/₄ = ⁴/₄ = 1

Látszik, hogy a számlálókat egész egyszerűen összeadhatjuk. Ezt a kényelmet azonban csak akkor élvezhetjük, ha mindkét összeadandó tört nevezője ugyanaz. Vagyis: ha az összeadandó törtek ,,ugyanolyan jellegűek'': valahányharmadok valahányharmadokkal, valahánynegyedek valahánynegyedekkel...

Most jön az igazán érdekes dolog. Hogyan adunk össze, vonunk ki ,,különböző jellegű törteket''? Mondjuk valahánynegyedet és valahánykettedet?

Mennyi mondjuk fél és negyed?

¼ + ½ = ?

▗ + ▌ = ?

Toljuk össze őket:

▖ ▐

▖ ▌

▖▐

▖▌

▟

Szemléletesen már sejthető, hogy éppen háromnegyed ▟ az eredmény, de jó lenne látni pontosan is, hogy mi ennek a magyarázata.

A lényeg az, hogy a felet ▐ szétvághatjuk két negyedre ▖▖

Ennek megfelelően a fél és a negyed

▌▖

éppen annyit tesz ki,

mint két negyed és még egy negyed

▖

▘ ▘

összegezve látszik, hogy ez együttesen tényleg három darab negyed

▖

▘▘

vagyis háromnegyed

▙

Tehát

¼ + ½ = ¾

▖ + ▌ = ▟

Ennyi bevezető után visszatérhetünk magára a példára.

Éppen az eredeti példában volt ehhez nagyon hasonló ilyen kérdés:

¾ - ¹¹/₂ = ?

▟ - ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ = ?

Itt is ugyanez a trükk segít: vágjuk szét a tizenegy kettedet (tizenegy félrészt) negyedes részekre! Vagyis minden egyes félrészt vágjunk még egyszer ketté!

Ilyen volt,

▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌ ▌

ilyen lesz:

▖ ▖ ▖ ▖ ▖ ▖ ▖ ▖ ▖ ▖ ▖

▘ ▘ ▘ ▘ ▘ ▘ ▘ ▘ ▘ ▘ ▘

Vagyis a 11 db félrészből kaptam 22 negyedrészt: ¹¹/₂ = ²²/₄

A háromnegyedre ▟ is gondoljunk úgym mint három darab negyedre ▘▘▘

Most már egyszerű a dolgom:

▖▖▖

a három darab negyedrészből el kell vennem

▖ ▖ ▖ ▖ ▖ ▖ ▖ ▖ ▖ ▖ ▖

▘ ▘ ▘ ▘ ▘ ▘ ▘ ▘ ▘ ▘ ▘

huszonkét darab negyedrészt.

³/₄ - ²²/₄ = ?

Persze, ha a negyedrészekre úgy gondolok, mint tortaszeletekre, akkor ilyet nem lehet csinálni: kevesebb tortából nem lehet többet megenni, mint ami van. De most tekintsünk inkább úgy ezekre a kis alakocskákra, mint lépcsőfokokra. Olyanokra, amilyenek a gyerekklinikák előtt vannak néha: a nagy felnőttlépcső mellett van egy kis lépcső (gyereklépcső), amelynek negyed olyan kicsik a fokai (a felnőttlépcső minden egyes fokára négy gyereklépcsőfok jut).

Szóval ha 3 gyereklépcsőfokot FELmegyek, és aztán rögtön 22 gyereklépcsőfokot LEmegyek, az ugyanolyan, mintha eleve csak 19 gyereklépcsőfokot mentem volna lefelé (képzeletben ,,kihagyjuk a különbözetet''):

⇧ ⇧ ⇧

és

⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩

egymás után pont úgy hat, mintha eleve

⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩ ⇩

Ezt a fogalmat már kifejezhetjük a negatív számok révén:

3 - 22 = -19

pontosabban, mivel itt mindvégig negyedekről (negyedlépcsőfokokról) van szó, azért inkább

³/₄ - ²²/₄ = -¹⁹/₄

És valóban, a példa megoldása tényleg ennyi:

[link]

Persze lehet, hogy más példák is előjönnek majd az iskola során, amelyek bonyolultabbak lesznek. PéldáuL:

Menni egyharmad meg fél?

⅓ + ½ = ?

Mintha egyharmad tortaszeletet, meg egy fél tortadarabot kéne összetolni, és megmondani róluk, hogy az minek felel meg.

Itt ezt úgy lehet jól megtenni. hogy a tortát eleve nem fél, és nem is harmad részekre kell szétvágni, hanem hatodrészekre! Ez azért jó, mert a hatodos tortaszeletekből könnyű kirakni a felet is (három darab tortahatod éppen fél torta), meg a harmadot is könnyű kirakni belőlük (két darab tortahatod együtt éppen egy tortaharmadot alkot). A hatodok révén tehát ki tudom úgy fejezni a feladatot, hogy az könnyen megodhatóvá váljék.

Tehát ha azt kérdezem, mennyi egy tortaharamd és egy tortafél, az olyan, mintha azt kérdezném, mennyi összesen két tortahatod és három tortahatod. Hát az összesen öt tortahatod. Mindezt jelekkel is leírom:

⅓ + ½ = ?

⅓ = ²/₆

½ = ³/₆

⅓ + ½ = ²/₆ + ³/₆ = ⁽²⁺³⁾/₆ = ⁵/₆

⅓ + ½ = ⅚

Ez a lényeg, úgy hívják ezt a trükköt, hogy törtek közös nevezőre való hozása, ezt a trükköt rendszeresen elsütjük akkor, amikor (különböző nevezőjű) törteket kell egymással összeadnunk, vagy kivonnunk.

Nagyon szívesen, én is örültem neki.

Valószínűleg később lesz majd olyan is, ahol a betűkkel anélkül kell számolni, hogy konkrét számot lehetne a helyébe képzelni.

Egyszerűbb példa:

2a + 3a,

hát itt nem tudjuk, hogy mi az ,,a'', de nem is baj, mert anélkül is biztosan tudhatjuk, hogy az összeg ,,értelme'' az mindenképp

5a,

akármit is képzelnénk ,,a'' helyébe, így aztán ezt anélkül is tudni lehet, hogy a feladatban ,,a'' értéke meg lenne adva.

Bonyolultabb példa:

¹/ₐ + ¹/ₐ₊₁ = (a+1)/ₐ₍ₐ₊₁₎ + a/ₐ₍ₐ₊₁₎ = (2a+1)/ₐ₍ₐ₊₁₎

ez azért furcsa, mert itt már tényleg a ,,betűs'' törtkifejezések közös nevezőjét keressük meg, anélkül, hogy bármiféle konkrét számok egyáltalán megjelennének a példában.

A Wolfram Alpha hajlandó erre is, hogy így ,,tökismeretlen'' betűkkel számoljon, anélkül, hogy tudhatná, pontosan milyen értéket kell a helyébe képzelni:

[link]

Ez az elvont számolás az ismeretlenekkel, ez az egész egy nagyon különös területe a matematikának, és nem is olyan régi: azt hiszem, valamikor a kora újkorban fedezték fel, hogy hogyan lehet efféle általános betűszámolást csinálni. És később meg egyre több furcsa új terület nőtt ki a matematikának ebből a területéből (beleértve mindenféle furcsa logikai meg számítógépes dolgot is, részben a modern számítógép-programozási nyelvek egy részét is).

Remélem, most még nem sürgetik ezt a dolgot az iskolában, ha meg majd odakerül a sor, akkor sok örömet és sikert kívánok hozzá.