Mekkorák a 3,7 cm oldalú szabályos nyolcszög ­átlói?

Először is tudnunk kell, hogy a belső szögek (8-2)*180°/8=135°-osak és 3-fajta átlója van.

Először a legeövidebb átlót érdemes kiszámolni. Van egy egyenlő szárú háromszöged, melynek két oldala és az általuk közbezárt szög ismert, így a koszinusztétellel ki tudod számolni a harmadik oldalt, de ennél elemibb módon is ki lehet számolni az egyenlő szárú háromszög alapját. Szükségünk lesz még az alapon fekvő szögre is.

A második leghosszabb átlóhoz is ismerünk egy háromszögnek két oldalát és azok közbezárt szögét, innentől egy sima koszinusztétel ismét.

A leghosszabb oldalhoz a közepéből érdemes kiindulni; ha összekötöd a nyolcszög középpontját a csúcsokkal, akkor kapsz 8 darab egybevágó egyenlő szárú háromszöget, melyek szárszögei 360°/8=45°-osak, és az alapjaikat ismered, így a szárak hosszát is ki tudod számolni. Szerencsére a leghosszabb átló két ilyen szárból tevődik össze.

Szerintem ha a köré írt kör R sugarát kiszámolod, akkor már könnyű dolgod lesz. A leghosszabb átló ugyanis éppen ennek a körnek egy átmérője, tehát 2*R hosszú; a legrövidebb pedig – ha megnézed – egy ilyen körbe írt négyzet oldala, ami két egymásra merőleges sugár végpontját köti össze, tehát egy R oldalú négyzetnek is átlója, így gyök(2)*R hosszú.

A „közepes” hosszúságú átlónak pedig még könnyebb konkrétan megmondani a hosszát, csak egészítsük ki a nyolcszöget egy négyzetté, valahogy így:

[link]

Az ábrán S = a + 2*a/gyök(2) = (1 + gyök(2))*a éppen ez a kérdéses hossz.

A szabályos sokszögek köré írt körének sugarát tudod, hogyan kell számolni az oldalból?