Határozd meg a sqrt (x-144) +sqrt (722-x) kifejezés maximális értékét!?

A kifejezés értelmezési tartománya: [144, 722]

[link]

Alkalmazd a számtani és neégyzetes közép közötti összefüggést:

2*(sqrt(x-144)+sqrt(722-x))/2 <= 2*sqrt(578/2)=

=34

Egyenlőség akkor van, ha a két kifejezés egyenlő, azaz x=433

Másik megoldás: mivel a függvény biztosan nemnegatív értékeket vesz fel, ezért a négyzetre emeléssel a maximum helye nem fog változni (avagy ha a<=b és mindkettő nemnegatív, akkor a^2<=b^2). Ennek fényében:

(sqrt (x-144) + sqrt (722-x))^2 = (x-144) + 2*sqrt(x-144)*sqrt(722-x) + (722-x).

Vonjunk össze: 578 + 2*sqrt(x-144)*sqrt(722-x)

A sqrt(a)*sqrt(b)=sqrt(a*b) azonosság alapján: 578 + 2*sqrt[(x-144)*(722-x)]

Az első állítás fordítva is igaz, vagyis ha a<=b, akkor sqrt(a)<=sqrt(b), tehát nekünk gyakorlatilag csak a (x-144)*(722-x) minimumhelyére van szükségünk. Ez egy másodfokú függvény, aminek tanulmányaink szerint a szélsőértékhelye a két gyökhely számtani közepénél van (de ha ezt nem tudjuk, akkor a bevett módszer a teljes négyzetté alakított alakból való kiolvasás). Látható, hogy a két gyök 144 és 722, ezek számtani közepe (átlaga) (144+722)/2=433-nál van. Mivel olyan átalakításokat végeztünk, amik a (lehetséges) szélsőértékek helyét nem befolyásolják, ezért az eredeti függvény maximumának helye is x=433-nál lesz.

Innen a keresett értéket úgy kapjuk, hogy behelyettesítünk az eredetibe: sqrt(433-144)+sqrt(722-433)=17+17=34.