Háromszöges feladat? A háromszög oldalai 39cm,41cm és 50cm. Keresse meg a kör sugarát, amelynek középpontja a háromszög nagyobb oldalához tartozik és amely megérinti a másik két oldalt.

Ha tükrözöd a háromszöget a hosszabb oldalra, akkor az eredeti és a tükörkép egy deltoidot fog meghatározni, aminek ráadásul a beírt körét látod. Ez azért jó nekünk, mert a beírt kör középpontját (bármilyen sokszög esetén) a szögfelezők metszéspontja fogja megadni.

Az eredeti háromszögben húzzuk be az O-hoz tartozó szögfelezőt, ekkor fel tudunk írni egy szögfelezőtételt, ezzel azt tudjuk meg, hogy az O pont milyen szakaszokra vágja az 50-es oldalt.

Most húzzuk be a két érintősugarat, ezek hossza legyen r, ekkor a háromszögön belül egy deltoid keletkezik. Ezt onnan tudjuk, hogy fel tudjuk bontani két egybevágó háromszögre, és a két azonos hosszú oldal egymás tükörképei. A másik két oldal hossza legyen y.

A deltoidon kívül még két derékszögű háromszöget is láthatunk; az egyik befogóinak hossza r és 39-y, átfogója 24,375, a másik befogói 41-y ás r hosszúak, átfogója 25,625 hosszú.

Ez azért jó nekünk, mert fel tudunk írni két Pitagorasz-tételt, és az így kapott egyenleteket egyenletrendszerbe tudjuk foglani, amit könnyen meg tudunk oldani.

Lehet, hogy van ennél geometrikusabb megoldás is, hirtelen ezt találtam.

Én meg ezt a megoldást találtam:

[link]

Igen, a szögfüggvényekkel könnyen kijön.

Mivel a kulcsszavaknál ott van az egyetem, ezért feltételeztem, hogy Geometria tárgyból kapta ezt a feladatot, ott meg annyira nem szeretik a trigonometrikus megközelítéseket.

A háromszög területe Heron-képlettel számolható.

[link]

T=780

A szögfelező a háromszöget két olyan háromszögre bontja, melyeknek az ismert oldalakhoz tartozó magassága a a keresett r sugár.

Ekkor a területek:

39*r/2+41*r/2=780

80*r/2=780

r=19,5