Mi ennek a feladatnak a megoldása?

Kezdetnek átírhatnád a számlálót és a nevezőt algebrai alakra.

Ha ez megvan, akkor bővítsd a számláló a nevezőnek úgynevezett konjugáltjával, vagyis az egyik tagnak megváltoztatod az előjelét, ezzel a nevezőben egy nemnulla valós szám lesz.

A számlálóban elvégzed a beszorzásokat, és a legvégén a komplex szám algebrai alakját kapod.

(1/2+i*sqrt(3)/2)/(-sqrt(3)/2+i*1/2)=

=(1+i*sqrt(3))/(i-sqrt(3))=

=((1+i*sqrt(3))*(i+sqrt(3))/(i^2-3)=

=(i+sqrt(3)-sqrt(3)-3i)/(-4)=(-2i)/(-4)=i/2

Kevered a dolgokat.

Trigonometrikusból úgy kapsz algebrait, hogy elvégzed a számításokat.

Például cos(60°)+i*sin(60°) = 1/2 + i*(gyök(3)/2), és kész is vagy.

Hogy algebraiból trigonometriait kapj, ahhoz egy kicsit többet kell sakkozni, de nem megoldhatatlan. Ehhez azt kell tudnunk, hogy a koordináta-rendszer minden pontja (az origót leszámítva) felírható P[r*cos(Ł);r*sin(Ł))] alakban, ahol r a P pont origótól mért távolsága, Ł pedig az OP vektor és a v(1;0) vektor pozitív forgatási irányú szöge (vagyis hogy a v(1;0) vektort meddig kell forgatni, hogy egybeessen az OP vektorral). Amíg ezt nem tudod, addig nem fogod tudni megérteni a komplex szám trigonometrikus alakját.

Ha viszont megy, akkor csak annyi a dolgod, hogy ezt felhasználod abban az esetben, amikor a számot a komplex számsíkban ábrázolod.

Tehát ha veszünk egy Z = a+bi =/= 0 komplex számot, akkor a komplex számsíkon a P(a;b) pontot jelöljük. A fentiek értelmében a P pont koordinátái felírhatóak P(r*cos(Ł);r*sin(Ł)) alakban, ugyanez lesz igaz az OP vektorra is, tehát OP(r*cos(Ł);r*sin(Ł)). De mi azt is tudjuk, hogy minden vektor felírható a bázisvektorok (egységvektorok) lineáris kombinációjaként (vagyis az origóból mennyit lépünk balra/jobbra és mennyit fel/le, és ezeket összeadjuk), tehát

OP = r*cos(Ł) + r*i*sin(Ł), ebből ki tudunk emelni r-et (mivel az konstans (illetve most skalár)), így r*[cos(Ł)+i*sin(Ł)] kifejezést kapjuk.

Az r távolság az abszolútérték definíciója szerint a Z szám 0-tól mért távolsága lesz, vagyis |Z|, tehát |Z|*[cos(Ł)+i*sin(Ł)] alakban is megadható. Viszont a Z=a+bi alakú szám abszolútértéke megadható, ehhez csak fel kell rajzolnunk a ponthoz tartozó derékszögű háromszöget*, és azt látjuk, hogy a két befogó hossza a és b, tehát Pitagorsz tétele szerint |Z|=gyök(a^2+b^2) lesz, tehát a legáltalánosabb trigonometrikus alak

gyök(a^2+b^2)*[cos(Ł)+i*sin(Ł)]

*Nem mindig kapunk derékszögű háromszöget; ha a Z szám tisztán valós vagy tisztán komplex, akkor a Z szám valamelyik tengelyre esik, így ott nem találunk derékszögű háromszöget, viszont könnyen belátható, hogy a fenti képlet ilyen esetekben is működik.

Tehát, amire szükségünk van az algebrai szám trigonometrikussá való átírásához, az az Ł szög és a szám távolsága az origótól.

Vegyük például az 1+i számot. Ha felrajzoljuk, akkor könnyen látható/kiszámolható, hogy a keresett szög 45° lesz, az origótól mért távolság gyök(2), tehát a fentiek értelmében

1+i = gyök(2)*[cos(45°)+i*sin(45°)], ugyanezt persze meg lehet adni radiánban is.

Ha ugyanezt az 1-i számmal csináljuk meg, ott annyi a változás, hogy a szög 315°-os lesz, tehát

1-i = gyök(2)*[cos(315°)+i*sin(315°)]

Ha nem akarunk rajzolgatni, akkor úgy tudjuk ezt megcsinálni, hogy a számot bővítjuk az abszolútértékével. Például vegyük az

1+gyök(3)*i alakú számot. Ennek az ||-e 2, tehát ezt írhatjuk fel:

2*((1+gyök(3)*i)/2)

Végezzük el tagonként az osztást:

2*(1/2 + i*gyök(3)/2)

Hogy-hogy nem, 1/2=cos(60°), gyök(3)/2=sin(60°), így

2*[cos(60°)+i*sin(60°)], és ez lesz az 1+gyök(3)*i algebrai alakú szám trigonometrikus alakja.

Én azért azt ajánlom, hogy a rajzolgatós verziót sajátítsd el előbb, aztán lehet más megoldási módokat is keresni.