Hogyan kell megcsinálni az alábbi paraméteres másodfokú egyenletet?

a) Akkor nincs gyök, ha a diszkrimináns kisebb, mint 0.

Azaz (4p)^2-4*1*(3p+1) < 0.

Ezt egyszerűsítve 4p^2-3p-1<0

Ha egyenlő lenne 0-val, a megoldóképlet alapján p=4 és p=-1 lenne a megoldás.

Mivel a négyzetes tag együtthatója 4, pozitív, ezért lerajzolva a függvényt "U" alakú lenne. Tehét a 2 gyök között lesz kisebb, mint 0.

Tehát akkor nincs gyök, ha a -1<p<4.

b) Ha a -4 megoldása az egyetletnek, akkor, ha x helyébe -4-et helyettesítesz be, igaz lesz az egyenlőség.

(-4)^2-4*(-4)*p+3p+1=0

16+16p+3p+1=0

19p=-17

p=-17/19

Az a*x^2+b*x+c=0 alakú másodfokúakra van egy ilyen "képlet", hogy a két gyök összege -b/a; illetve a két gyök szorzata c/a.

itt a=1

b=-4p

c=3p+1

c) Mikor lesz mind a két gyök pozitív?

I. Van két gyök

II. Ha a szorzatuk is pozitív (ekkor előjelük megegyezik)

III. Ha összegük is pozitív (ez a II.-es együtt eredményezi, hogy mindkét gyök pozitív.)

I. Az a feladatban láttuk, hogy -1<p<4 esetén nincs gyöke az egyenletnek, így ha ezek jönnének ki, az nem jó megoldás.

II. c/a>0

(3p+1)/1>0

3p+1>0

p>-1/3

III. -b/a>0

4p/1>0

4p>0

p>0

A II. és III.-nak együtt kell teljesülnie.

p>-1/3 és p>0 együtt --> p>0

viszont tudjuk, hogy ha p>0, de p <4, akkor nincs gyöke az egyenletnek.

Így a c-re a válasz, hogy p>4 szerintem.

d) Itt is a c-re leírt válaszomban használt képleteket érdemes használni.

Ha ilyet látsz, hogy x1^2+x2^2, akkor az juthat eszedbe, hogy az majdnem (x1+x2)^2, hiszen az x1+x2-re van képleted (-b/a)

Tehát

x1^2+x2^2= (x1+x2)^2 - 2x1x2 = (-b/a)^2-2*c/a

-b/a=4p/1=4p

c/a = (3p+1)/1=3p+1

12 = (4p)^2-2*(3p+1)

12=16p^2-6p-2

0=16p^2-6p-14

Innentől kezdve jöhet a megoldóképlet.

Lehet, hogy itt valamit elszámoltam, vagy csak csúnya az eredmény, ilyen gyök 233-ak vannak nekem benne.

Még a végén a d)-nél a két kijött eredményt meg kell nézni, hogy ilyen p-k esetén van-e valóban gyöke az egyenletnek, azaz összenézed az a) feladattal.

Így azt hiszem nincs is olyan p, amire a d)-ben adott feltétel teljesülne.