Harmadfokú egyenlet megoldása, egyszerűsítése?

Figyeld meg, hogy ha b helyére beírod a másfelet, akkor a számlálóban is 0-t kapsz, ami azt jelenti az algebra alaptétele szerint, hogy kiemelhető belőle (b-1,5), tehát a tört felírható így:

[(b-1,5)*(valami másik polinom)]/[2*(b-1,5)], így látható, hogy (b-1,5)-del tudunk egyszerűsíteni, így marad (valami másik polinom)/2. Az egyik megoldási mód az, hogy a 2-es szorzót kivesszük a nevezőből, és elvégezzük a

[6b^3-19b^2+39b+36]/[b-1,5]

polinomosztást, és az eredményt még elosztjuk 2-vel. Ha esetleg nem ismerjük a polinomosztást, akkor kicsit egyszerűbben is fel lehet írni, amit tudunk kezelni; legyen b-1,5=x, ezt rendezzük b-re: b=x+1,5, és mindenkit lecserélünk, ekkor ezt kapjuk:

[6*(x+1,5)^3-19*(x+1,5)^2+39*(x+1,5)+36]/[x]

Ez azért jó, mert a hatványozásokat gond nélkül el tudjuk végezni, az összevonást is, az x-szel való osztás pedig nem ördögtől való dolog, mivel mindegyikben csak x lesz. Ha ez megvan, akkor x helyére csak visszaírjuk a (b-1,5)-et, újra végigszámoljuk, és meg is vagyunk. Illetve a végén még kell a /2.

A másik megoldási mód a Horner-elrendezés:

[link]

A lényeg: felírod csökkenő sorrendben az együtthatókat. A 0. oszlopba beírod az 1,5-et. Az első oszlopba írod a főegyütthatót. A második oszlopba úgy írod a számot, hogy ami a 0. oszlopban van, azt megszorzod az első oszlopban található számmal, majd a második oszlop tetején lévő számot hozzáadod. A harmadik oszlop számához ugyanezeket a lépéseket a 0. és a második oszlop számával kell végigcsinálnod. A következő részhez ugyanezt csinálod mindaddig, amíg a végére nem érsz. A kapott számok a kérdéses polinom, vagyis a "valami másik polinom" együtthatói lesznek fokszám szerinti csökkenő sorrendben.

Valójában ez a számítási mód annak a rövidítése, mint amikor úgy írjuk fel a polinomot, hogy a létező összes ismeretlent kiemeljük;

6b^3-19b^2+39b-36 =

= b*(6b^2-19b+39)-36 =

= b*(b*(6b-19)+39)-36

Mint láthatod, ebben az alakban pont ugyanazokat a számításokat végezzük el, mint amiket a táblázat kitöltésénél használunk (belülről kifelé haladva).

Ahogyan a Wikipédia is írja, ezzel a módszerrel gyakorlatilag a polinomosztást végezzük el, csak más, sokkal rövidebb formában.

(6b^3-9b^2-10b^2+15b+24b-36)/(2b-3)=

=(3b^2(2b-3)-5b(2b-3)+12(2b-3))/(2b-3)=

=(2b-3)(3b^2-5b+12)/(2b-3)=

=3b^2-5b+12