Ennél a feladatnál miért kell az abszolút értéket venni?

Igen. A költő valamit benézett:

[link]

Nem tudni, hogy mire gondolhatott...

Definíció szerint minden a valós számra igaz, hogy

gyök(a^2)=|a|, tehát itt csak a definíciót használta. Abban igazad van, hogy "felesleges", mivel látható, hogy a gyök(3)+5 értéke mindenképp pozitív, de ez az ekvivalens lépés, és jobb inkább mindig következetesen használni, mint egyszer így, egyszer úgy, minden magyarázat nélkül.

(Hogy értsd; ha ott nem lenne ||, akkor egy másik kérdező azt a kérdést tette volna fel, hogy az elsőnél miért írta ki az ||-et, a másodiknál meg miért nem. Sok esetben ráérünk később is megvizsgálni, hogy most az pozitív, negatív, 0, vagy mi van vele, persze aki átlátja a dolgokat, nyugodt szívvel kihagyhatja ezt a lépést.)

Tehát itt tartunk:

|gyök(3)-5|-|gyök(3)+5|

Mivel gyök(3)-5<0, ezért ennek az abszolútértéke az ellentettje, tehát -gyök(3)+5 lesz belőle (vagy 5-gyök(3), amelyik jobban tetszik). Mivel gyök(3)+5>0, ezért ennek abszolútértéke önmaga (amit te is ügyesen megjegyeztél), de ha az jobban tetszik, felírható 5+gyök(3) alakban.

Most akkor itt tartunk:

-(gyök(3)-5)-(gyök(3)+5)

Kibontjuk a zárójeleket:

-gyök(3)+5-gyök(3)-5

Összevonás után:

-2*gyök(3), ami akár -gyök(12) alakban is felírható.

Így már világos minden?