Matematika, kombinatorika valaki?

Nézzük "paraszti logikával":

Tulajdonképpen nem nyolc, hanem kilenc lehetőség, hisz az is egy eset, ha üresen hagyod a rubrikát (írhatsz helyette 0-t vagy x-e, vagy akármit, majd utána kiradírozod. Az első rubrikát 9-féleképp lehet kitölteni, a másodikat már csak nyolc, stb, stb... Ezek szorzásával kijön a 9!.

igen.

technikailag az van, hogy az üres mező úgy viselkedik, mintha a 9. szám lenne.

ha két üres mező lehetne, akkor már nem ennyire egyszerű a kérdés megértése, de mivel csak egy van, így semmi különbség.

Általánosságban véve; ha n számunk van, amit k helyre kell beírni, és k>=n, akkor k-n üres mező van, így

(k alatt a k-n)*n!-féle lehetőség van a kitöltéshez, ahol

(k alatt a k-n) = k!/((k-n)!*(k-(k-n))! = k!/((k-n)!*n!), tehát

k!/((k-n)!*n!) * n!-féle lehetőség van, és itt még lehet egyszerűsíteni is, így marad

k!/(k-n)!, tehát tényleg egy ismétlés nélküli variációról van szó (ha pedig k=n, akkor ismétlés nélküli permutációról).

Meg lehet máshogyan is közelíteni a problémát; most ne azt nézzük, hogy az első rubrikába mennyi írható, a másodikba mennyi, és így tovább, mivel ezt nem játszhatjuk el, hogyha 1-nél több üres mező van. Számoljunk fordítva, vagyis hogy a számok hány mezőbe írhatóak;

1-es szám: k mezőbe

2-es szám: k-1 mezőbe

3-as szám: k-2 mezőbe

.

.

.

n-s szám: k-n+1 mezőbe (ezt onnan lehet látni, hogy a számok és a lehetőségek összege mindig k+1; k+1=k+1, 2+(k+1)=k+1, 3+(k-2)=k+1, ... n+(k-n+1)=k+1), a tanultak szerint így a k darab szám között

k*(k-1)*(k-2)*...*(k-n+1)-féleképpen oszthatóak ki a mezők. Ezt a szorzatot érdemes bővíteni (k-n)!-sal, mivel ekkor:

k*(k-1)*(k-2)*...*(k-n+1)*(k-n)!/(k-n)!, ekkor a szorzat értéke a faktoriális definíciója szerint pont k!, így:

k!/(k-n)! jön ki a végére.

8 számot KELL beírnod a rubrikákba és egyet üresen hagyhatsz.

Akkor mondjuk először osszuk a számokat a triviálisan:

9 rubrikánk van: _ _ _ _ _ _ _ _ _

Az 1. helyre kerülhet 8 szám.

A 2. helyre kerülhet 7 szám.

...

A 8. helyre kerülhet 8 szám.

A 9. hely üresen marad, mert kifogytunk a beírható számokból.

Ezeket össze kell szorozni, mert ugye a számokat akármilyen sorrendben beírhattuk ebbe a 8 rubrikába.

Ez 8! faktoriális (1*2*3*4*5*6*7*8), azaz 40320 lehetőség.

===

Igen ám, de nem számoltuk még meg azokat az eseteket, amikor az üres rubrika nem a legutolsó helyen van!

Számoljuk meg akkor hány helyre kerülhet az üres rubrika:

Kerülhet leghátulra, ez 1 lehetőség.

Kerülhet az utolsó előtti helyre, ez 2 lehetőség.

...

Kerülhet a legelső helyre is, tehát ez összesen 9 lehetőség.

Ennyivel kell beszorozni a 40320 lehetőséget: 40320*9 = 362880.

Ha jobban meggondoljuk, akkor az üres rubrikát felfoghattuk volna úgy is, mint egy 9. kiosztható számot és akkor gyorsabban megvagyunk a feladattal, mert ugyanúgy 8!*9 (1*2*3*4*5*7*8 *9), azaz 9! az eredmény.