Matekosok valaki: Egy téglatest éleinek arány 3:4:4, testátlója 20. Mekkorák az élei? Mekkora térfogata és a felszíne? Megtudnátok oldani?

sqrt(a^2+b^2+c^2)=20; a+b+c=3x+4x+4x; sqrt(9x^2+16x^2+16x^2)=20 => 400=41x^2 => x=sqrt(400/41); a=3*sqrt(400/41); b=c=4*sqrt(400/41);

ellenőrzés: sqrt([3*sqrt(400/41)]^2+[4*sqrt(400/41)]^2+[4*sqrt(400/41)]^2)=20;

5-re is megoldom...

sqrt(a^2+b^2+c^2)=20; a+b+c=3x+4x+5x; sqrt(9x^2+16x^2+25x^2)=20 => 400=50x^2 => x=sqrt(400/50)=sqrt(8); a=3*sqrt(8); b=c=4*sqrt(8);

ellenőrzés: sqrt([3*sqrt(8)]^2+[4*sqrt(8)]^2+[5*sqrt(8)]^

2)=20;

Na, akkor egy kis magyarázat: a testátló (l) megadható az élek (a;b;c) függvényében: l=gyök(a^2+b^2+c^2), ehhez a képlethez gyakorlatilag 2 Pitagorasz-tételt kell felírni egymás után.

Legyenek az élek 3x, 4x és 5x, mivel ekkor (3x):(4x):(5x)=3:4:5 arány teljesül. Innen már csak be kell helyettesíteni a fenti képletbe:

20=gyök((3x)^2+(4x)^2+(5x)^2)

20=gyök(9x^2+16x^2+25x^2)

20=gyök(50x^2)

20=gyök(50)*x

20/gyök(50)=x, vagyis az élek:

3*20/gyök(50)

4*20/gyök(50)

5*20/gyök(50)