Matek OKTV 2. kategória 2013/2014?

Leírom, én mit csináltam, nem állítom, hogy 100%-ban jó így, de elég biztos vagyok benne.

Először értelmezési tartományt kell vizsgálni, x nem lehet pi/2+k*pi a tangens miatt, továbbá a gyök alatti kifejezés nem lehet negatív. Tehát tg^2(x)-3 >= 0 (nagyobbegyenlő). Ebből tg(x)>=sqrt(3) (sqrt a négyzetgyök), illetve tg(x)<=-sqrt(3). Ebből következik, hogy pi/3+k*pi<=x<pi/2+k*pi és pi/2+k*pi<x<=2pi/3+k*pi.

Ezt felírtam úgy, hogy pi/3+k*pi<=x<=2pi/3+k*pi kivéve pi/2+k*pi (remélem, ezt fel lehet így írni(persze ott jelekkel írtam)(bár nem is fontos így felírni)).

Én ezek után két részre szedtem. Tegyük fel, hogy mindkét oldal nemnegatív. Ekkor négyzetre emelés és rendezés után ezt kapjuk: 3tg^2(x)+4tg(x)+4<0 A bal oldali kifejezés tg(x)-re nézve másodfokú, és a diszkriminánsa -32, tehát nincs zérushelye, és a négyzetes tag együtthatója pozitív, ezekből következik, hogy sosem lesz negatív.

Tehát a jobb oldal negatív kell, hogy legyen. 1+2tg(x)<0 => tg(x)<-1/2 Ha egységsugarú körön nézzük, látszik, hogy ez a szög, és az összes olyan, aminek a tangense -1/2 és -sqrt(3) között van, az nincs benne az ért. tart.-ban. Az é.t.-nak a pi/3+k*pi<=x<pi/2+k*pi része sem lesz megoldás, mert akkor nem igaz, hogy tg(x)<-1/2.

Tehát: pi/2+k*pi<x<=2pi/3+k*pi lesz a megoldás. (És most közben rájöttem, hogy a versenyen sajnos elbonyolítottam egy kicsit, mert kikerestem a fvtáblázatból, hogy milyen szöghöz tartozik a -1/2 tangens, és azzal vacakoltam fölöslegesen (de ha jól emlékszem, ez legalább kijött).)

Ha elírtam volna valamit, javítsatok ki.