Küszöbszámkeresésen és nevezetes határértékek használatán kívül lehet valahogy sorozat határértékét számolni?

Persze, rengeteg módszer adatott. Pl.: [link]

Na, de komolyra fordítva a szót. Ilyen kifejezések esetén mindig szorozzuk a konjugáltal. (a-b esetén a+b a konjugált, de hogy ekvivalens átalakítás legyen, ezért (a+b)/(a+b)-vel szorozzuk. Ez azért jó, mert ekkor kapjuk, hogy (a^2 - b^2) / (a+b) (vagy a-b, attól függően, hogy eredetileg + vagy - volt, most + lesz a nevezőben) és ekkor pont gyöktelenítettük a számlálót).

Ha ezt elvégzed az adott sorozatra, akkor kapod, hogy:

6n / [gyök(n^2+3n+2) + gyök(n^2 - 3n + 2)

Itt most akkor következik az, ami minden polinom hányadosnál megszokott, hogy a nevező legnagyobb kitevőjű tagjával egyszerűsítünk. Ez ugye a gyök(n^2), ami pont n.

Kapjuk, hogy:

6 / [gyök(1+3/n+2/n^2) + gyök(1 - 3/n + 2/n^2)

Egyeséve ismerjük a tagok határértékét:

6 -> 6

1 ->

+-3/n -> 0

2/n^2 -> 0

(midőn n tart végtelen)

És akkor itt kihasználjuk a limesz-képzés kommutativitását n-től független függvényekre (tehát k-dik gyökre ez jó, de n-dik gyökre már nem!) és az alapműveletekre.

Az hogy kommutatív ezekre azt jelenti, hogy "felcserélhető" velük, tehát mindegy hogy az egész sorozat határértékét számolom ki vagy a részeinek a határértékét és azokon végzem el a műveleteket.

Tehát az adott sorozat határértéket (midőn n tart végtelenhez):

6 / [gyök(1+0+0) + gyök(1-0+0)]

Gyök(1)=1

Tehát ez 6/2=3