8,9999 (szakaszos végtelen tizedes tört) = 9?

8.999=9

Azért, mert két szám akkor különbözik egymástól, ha található a két szám között egy harmadik. De mivel ilyen nincs, ezért a két szám egyenlő.

A 2 nem egyenlő 3-al, mert van köztük vágtelen sok szám, pl. a 2.5.

A valós számok lényegében egy monoton növő és egy monoton csökkenő számsorozat határértéke által definiálhatók. Kezdjük el a számolást 8-tól. A sorozat következő tagja legyen 0,9-del több: 8,9. A harmadik tag legyen 8,99. Tehát, nézzen ki a sorozatunk így:

a(n)=8+9*(0,1+0,01+0,001+...10^(-n)) Ez igazából egy sor (mértani) n-edik részösszege:

a(n)=8+9*SZUM(i=1-től n-ig)10^(-i)=8+9*(q^n-1)/(q-1)

q=0,1

Ha n tart végtelenhez:

SZUM(i=1-től végtelenig)(q^n-1)/(q-1)=1/(1-q)-1

Az egy a sorozat 0.eleme lenne, de ez nincs az összegünkben...

SZUM(i=1-től végtelenig)(q^n-1)/(q-1)=1/(1-q)-1=1/(1-1/10)-1=

=1/(9/10)-1=10/9-1=10/9-9/9=1/9

Visszatérve a kifejezésünkhöz:

a(n)=8+9*SZUM(i=1-től n-ig)10^(-i)=8+9*(q^n-1)/(q-1)

q=0,1

n tart végtelenhez:

a(n)=8+9*SZUM(i=1-től végtelenig)10^(-i)=8+9*SZUM(i=1-től végtelenig)(q^n-1)/(q-1)=

(behejettesítve a sörösszegre kapott 1/9-et:)

8+9*(1/9)=9

Ezt kellett bizonyítanunk, tehát: a 8,9999... végtelen tizedestört értéke valóban 9.

(Sorozattal úgy juthatnánk el 8-től kilencig /csak, hogy az elejének is legyen értelme:/, hogy a(n)=9-10^(-n). Ennek a sorozatnak a supremuma 9.

Nem tökéletes a bizonyítás, de szerintem megteszi...

22:46-os vagyok... néhány helyen nem kellett volna kiírnia SZUM(i=1-től végteleniget), mert nincs értelme... Csak fáradt vagyok, azért került rossz helyre... A "SZUM(i=1-től végtelenig)(q^n-1)/(q-1)" teljesen hibás kifejezés helyett azt szándékoztam írni:

lim(n tart a végtelenbe)(q^n-1)/(q-1)=1/1-q...

És ebből a határértékből kell kivonni 1-et, ekkor kapjuk a sorösszeget...

Ha már itt tartunk, akkor ki kell kötnünk, hogy ez csak 1-nél kissebb q-ra igaz, egynél nagyobb számokra a sorozat divergens...

És 10-ből 10 alkalommal az előző módszerrel bizonyítanám, hogy 8,9999...=9-cel.

Persze nem tudom, hogy TE hol tanulsz, és mennyire kell tudnod a matekot, meg, hogy egyáltalán gimi vagy egyetem, én másodéves vegyészmérnök hallgató vagyok a BME-n...

Szept. 25. 13:33-asnak: x értékét megszabhatjuk: vegyük például a következő lineáris EGYISMERETLENES EGYENLETRENDSZERT!:

10x=25

x=9

Természetesen ennek az általam felírt egyenletrendszernek direkt nincs értelme, de az ember felírhatja, csak ellentmondásra jut. Viszont, a kérdező lineáris átalakításokkal jutott x=8,999...-től x=9-ig, tehát abszolút nem mond ellent semminek (szerintem). És nekem nagyon is tetszik a kérdező megoldása (személy szerint nem találok benne semmilyen kivetnivalót, bár én nem vagyok igazi matekos... /Mondjuk, az érdekelne, hogy hogyan csinálnál kilencből 8,9999...-et ugyanezzel a módszerrel...Kedves kérdező:)/)

22:46-os voltam... (És maradok a megoldásomnál.:))

"hogy 8,99999-et írjuk fel 2 szám hányadosaként"

Leeset, hogy a megoldás triviális.

Íme:

x=8.9'

10x=89.9'

10x-x=89.9'-8.9'

9x=81

x=81/9 ami 9

Néha a legegyszerűbb megoldások sem jutnak az emberek eszébe.