Hogyan kell határértéket számítani? (egyetem-közgáz-vagy gondolom máshol is van)

A határérték számítás (limesz) arra szolgál, hogy ... Itt bővebben:

[link]

Pl. egy tipikus és ismert határérték az „e“ (Euler féle szám) értéke. Ezt így írjuk le:

lim (1+1/n)ⁿ = e = 2,718.281.828.459....

n→∞

Ez azt jelenti, hogy ahogy az „n“ mind jobban közeledik a végtelenhez, úgy közeledik az „e“ értékéhez az (1+1/n)ⁿ értéke. A probléma ott van, hogy az „e“ értékét nem tudjuk egyszerűen úgy kiszámítani, hogy az „n“ helyébe végtelen értéket teszünk, mert nem tudunk így ezen a módon rendes számítást elvégezni. Itt jön segítségül a határérték számítás tudománya, ami lehetővé teszi, hogy ilyen esetekben is megkapjuk a szükséges eredményt.

[link]

Ennyit bevezetőnek.

A határérték számításhoz ami talán a legfontosabb tudnivaló (L’Hospital-szabály):

[link]

Egy példa:

lim (e²ˣ – 1)/(x³ + 6•x)

x→0

Ha behelyettesítjük az „n“ helyébe a 0 értéket, akkor a számlálóban is nulla jön ki, meg a nevezően is, vagyis: 0/0 = ? Ennek így nincs értelme, ezért ezt így számoljuk (L’Hospital-szabály):

Számláló deriváltja: 2•e²ˣ

Annak értéke 0-nál: 2•e⁰ = 2

Nevező deriváltja: 3•x²+6

Értéke 0-nál: 3•0²+6 = 6

Tehát:

lim (e²ˣ – 1)/(x³ + 6•x) = 2•e²ˣ/(3•x²+6) = 2/6 = 1/3

x→0

L’Hospital-szabály a Taylor-féle sorbafejtésen alapszik, ugyanis:

∞

∑ fⁿ(a)•(x-a)ⁿ/k! = f(x)

n=0

fⁿ(a) = dⁿf(a)/(dx)ⁿ

f⁰(a) = f(a) = 0, g⁰(a) = g(a) = 0 ezért ezek a tagok kiesnek, marad a következő tag az

f¹(a)•(x-a) meg a g¹(a)•(x-a) a többi tag meg megint kiesik, mert már a következő tag esetén is érvényes (a többire meg méginkább) :

lim (x-a)²/(x-a) = x-a = 0

x→a

Marad tehát:

lim f(x)/g(x) = f¹(a)•(x-a)/[g¹(a)•(x-a)] = f¹(a)/g¹(a)

x→a

Még megjegyzem, a L’Hospital-szabályt nemcsak abban az esetben lehet alkalmazni a lim f(x)/g(x) kiszámításához, ha:

lim f(x) = 0

x→a

lim g(x)= 0

x→a

hanem akkor is ha:

lim f(x) = ∞

x→a

lim g(x)= ∞

x→a

Ebben az esetben is érvényes:

lim f(x)/g(x) = f¹(a)/g¹(a)

x→a

Továbbá, abban az esetben, ha a következő a helyzet:

lim f(x)*g(x) = ?

x→a

lim f(x) = ∞

x→a

lim g(x)= 0

x→a

legyen: h(x) = 1/f(x), ekkor:

lim h(x)= 0

x→a

lim f(x)*g(x) = lim g(x)/h(x) = g¹(a)/f¹(a)

x→a

Helyesen:

lim f(x)*g(x) = lim g(x)/h(x) = g¹(a)/h¹(a)

x→a