Függvényhatárérték - tudnátok segíteni?

1. Ha x->végtelen, akkor a hatványalap 2/3-hoz tart, ami egy 1-nél kisebb pozitív szám. Tudjuk például azt, hogy a (2/3)^x függvény a végtelenben 0-hoz tart, ennek megfelelően ez is oda fog.

Ha x->-végtelen, akkor megcsinálhatjuk azt, hogy a kifejezésben, minden x-et (-x)-re cserélünk, és az így kapott határértéket a végtelenben vizsgáljuk. Ebben az esetben az alap még mindig 2/3-hoz fog tartani, a kitevő pedig a (-végtelen)-be. A hatványozás azonosságai alapján tudjuk, hogy ez egyenlő azzal, hogy (3/2)^"végtelen", itt pedig már az alap egy 1-nél nagyobb szám lesz, ezért fog ez a végtelenbe tartani, így az eredeti is.

2. Minden esetre, bontsuk szét a számlálót és a nevezőt szorzótényezőkre, amennyire csak lehet:

Számláló: x*(e^x-1)*(x+1)

Nevező: x^2*(x+1)

Ezután észrevehetjük, hogy a törtet tudjuk egyszerűsíteni x-szel és (x+1)-gyel, így marad ez a tört: (e^x-1)/x

Ha x->-1, akkor már nincs nehéz dolgunk, mivel ebben a kifejezésben már be tudjuk helyettesíteni a számot x helyére gond nélkül: (e^(-1)-1)/(-1) = 1-1/e, ez lesz a határérték.

Ha x->0, akkor viszont még mindig problémás, hogy 0-val kellene osztani, viszont maga a határérték 0/0 alakú, emiatt L'Hospital-szabállyal lehet számolni;

Számláló deriváltja: e^x

Nevező deriváltja: 1, ezek hányadosa e^x/1, vagyis e^x, és itt x helyére beírható a 0, így eredményül 1-et kapunk.

3. Ha a végtelenekben vizsgálódunk, akkor egyszerű, mivel a kivonás mindkét tagja 0-hoz tart, 0-0=0.

Az x->-2/3 rész már érdekesebb. Először vegyük észre, hogy mindkét nevező 0-t ad eredményül, hogyha ezt behelyettesítjük. Ez csak annyit jelent, hogy a közös nevezőre hozásnál a közös nevező nem a két nevező szorzata lesz nekünk a legjobb, hanem valami más. Ehhez a másodfokú kifejezést szorzattá kell alakítanunk úgy, hogy a 3x+2 benne legyen szorzótényezőként:

4 + 4x - 3x^2 = ... = -(3x+2)*(x-2)

Tehát nekünk elég csak a második törtet -(x-2)-vel bővítenünk, ekkor ezt kapjuk:

8/(4+4x-3x^2) - (-3x+6)/(4+4x-3x^2) = (3x+2)/(4+4x-3x^2) =

= (3x+2)/(-(3x+2)*(x-2)) = 1/(2-x), és ha itt beírjuk x helyére a -2/3-ot, akkor el tudunk minden műveletet végezni: 1/(2-(-2/3)) = 0,375.