Mi a lényege a Taylor sornak?

A Taylor-sorfejtésnek (meg úgy általában az összesnek, mert nem csak Taylor-sorfejtés létezik a világon) az a lényege, hogy egy függvényt valamilyen egyszerűbben számítható függvények összegével közelítünk; a Taylor-sorfejtés eredménye mindig egy polinom (polinomok Taylor-sora pedig mindig önmaguk).

Például ha ki akarod számolni a sin(1,2) értékét, akkor az baromi nehezen fog menni segítség nélkül. Ellenben ha a sin(x) függvényt Taylor-sorfejted 1,2 közelében (például x=1,19-re), akkor az így kapott függvénybe már könnyedén be tudod írni az 1,2-et, ezzel kapva egy értéket, ami attól függően áll közel a sin(1,2) tényleges értékéhez, hogy mennyi tagot fejtettél ki. Fontos megjegyezni, hogy a kifejtéskor MINDIG radiánértéket kell használnunk, tehát ha nem így van megadva, akkor át kell váltanunk radiánba (most az 1,2 radiánban van). Sőt, még a hiba mértéke is becsülhető a Lagrange-féle maradéktaggal, felülről.

Másik gyakori alkalmazása az integrálásnál van. A legalapvetőbb példa erre a sin(x)/x függvény integrálása, ami elemi eszközökkel nem nagyon fog menni. Azonban ha a számlálót felírjuk Taylor-sorral, akkor olyan alakot kapunk, ami mér gond nélkül integrálható lesz. Hátránya persze, hogy nem zárt alakot kapunk, hanem valami szummás képletet, de a semminél több.

A legfőbb gyakorlati jelentősége pedig az, hogy a különféle bonyolult függvényeket a számítógép is a különféle sorokkal számol. Tehát amikor te beütöd a számológépbe, hogy sin(1,2), akkor a számológép úgy számol, mintha manuálisan helyettesítettél volna be a szinuszfüggvény Taylor-sorába, vagyis az 1,2 - 1,2^3/3! + 1,2^5/5! - 1,2^7/7! + 1,2^9/9! - ... összeget pötyögnéd be, majd nyomnál egy =-et.

Köszönöm az elismerést :)

Nem tudom, hogy hol tanulsz, de ha a tanár nem azzal kezdi, hogy ez mire is lett kitalálva, akkor ott komoly gondok vannak...