Deriválás? (egyetem)

Valószínűleg még csak az elején járnak, ezért nem tanulták a L'Hospital-szabályt, de kétség nélkül azzal is kijön.

Geometriai megfontolás szerint jön ki a fenti határérték, egyébként.

Az egységkörből kell kiindulni.

Ha x radiánban mért hegyesszög, akkor azt az egyenlőtlenséget kapjuk, hogy

sin(x) < x < tg(x)

Most osszuk az egyenlőtlenséget sin(x)-szel (ami hegyesszögre pozitív, így nem fordul a reláció):

1 < x/sin(x) < 1/cos(x)

Ezzel az x/sin(x) függvényt be tudtuk szorítani két másik függvény közé, így a csendőrelv értelmében ha x->0, akkor a középső függvény határértéke meg kell hogy egyezzen a két „csendőr” határértékével, hogyha azok egyenlőek. Azt látjuk, hogy a kifejezések határértéke x->0+-ban 1, így az x/sin(x) jobb oldali határértéke is 1 kell, hogy legyen.

Ebből úgy lesz sin(x)/x, hogy vesszük mindhárom oldal reciprokát, ekkor a relációs jelek megfordulnak:

1 > sin(x)/x > cos(x), ugyanaz a helyzet.

Nem nehéz meggondolni, hogy ha x->0-, akkor mi a helyzet. Ugyanez fog kijönni, így azt mondhatjuk, hogy az x/sin(x) és a sin(x)/x kifejezések határértéke 1 lesz x->0 esetén.