Mit szóltok ehhez a bizonyításhoz, hogy a háromszög szögei együttesen nem 180 fokosak?

Csak a kétdimenziós geometriában 180 fok a háromszög szögeinek összege.

Görbült felületen már nem.

Példának egyszerűen:

A földön állsz az egyenlítőnmész az egyenlítőn előre negyed kerületet, aztán jobbra fordulsz 90 fokot és elmész megint negyed kerületet, tehát mondjuk az északi sarokra. Ezután megint jobbra fordulsz 90 fokot és elindulsz megint negyed kerületet, amivel vissza is értél a kiindulópontra. Ha belegondolsz, bejártál a föld felszynén egy szabályos háromszöget, egynes oldalakkal, mégis három darab 90 fokos sarka van.

Tehát nem sík geometriában, hanem görbült felületen nagyobb 180 foknál a háromszög szögeinek az összege. A konkrét példában például 270 fok.

Ha köré rajzol egy kört, amire azt mondja, hogy gömbként képzeljétek el, amin rajta van a benne lévő háromszög, akkor látható, hogy a szögek azon a gömb felületén nem 60 fokosak.