Kétváltozós függvény felülete alatti térfogat. Hogyan lehet kiszámolni?

Nos akkor szép sorjában:

1. A kis háromszög paraméterezése:

-a "t" változó az a szöget jelöli, az 0 és Pi/4 ig fut, hisz ez egy egyenlőszárú derékszögű háromszög alapján fekvő egyik szöge. Tehát 0<t<Pi/4 a háromszög belső pontjaira.

-az "r" változó az origótól való távolság, amit a szög függvényében lehet felírni. a 3/cos(t), az minden "t" szögre az origó és az origóval szembe lévő befogó távolsága. A háromszög minden pontjára tehát 0<r<3/cos(t)

Ennél a paraméterezésnél nem (x,y)-al koordinátázunk minden pontot, hanem minden ponthoz egy (r,t)=(origótól való távolság, és az elfordulás szöge).

Rajzold föl a kis háromszöget és próbálj minden ponthoz rendelni egy ilyen (r,t) koordinátapárt.

2. Beszorzás "r"-rel:

A polárkoordinátákra való áttérés egy helyettesítéses integrálás. Ott is, ha változó csere van, és az eredeti változót az új változó függvényeként írod fel, akkor be kell szorozni a függvény deriváltjával is. Itt is ez a helyzet, itt az ún. áttérésmátrix determinánsával szorzol.

Az így néz ki:

|dx/dr dx/dt|= |cos(t) -r*sin(t)|= r*(cos^2(t)+sin^2(t))

|dy/dr dy/dt| |sin(t) r*cos(t) |

, ami =r

3. Az eredmény biztosan 54, mert kiszámoltattam programmal is most:).