Kétváltozós függvény felülete alatti térfogat. Hogyan lehet kiszámolni?

"...térfogatot adott térfogaton?" (???)

Többváltozós Riemann-integrállal, ha speciális a függvény és a tartomány.

Intervallum az egydimenziós valami. Tartományra gondolsz.

Az elméleti levezetés az ugyanaz, mint egyváltozós esetben. Felosztod a tartományt sok kis tartományra, majd a tartományok területét szorzod a rajtuk felvett minimum értékekkel illetve maximum értékekkel, és ezeket összeadod. Így kapsz egy alsó- és felső közelítést a térfogatra. Ahogy a tartományt egyre több és kisebb területű tartományra osztod, ha a függvény és az eredeti tartomány speciális, akkor ez az alsó- és felső közelítés ugyanahhoz a határértékhez tart, ami pedig a térfogat lesz. (Nem teljesen egzakt.)

x^2+y^2 polinomfüggvény, így a legspeciálisabbak közül való, tehát csak a tartománytól függ, hogy meg lehet-e így határozni a térfogatot. (Talán annak elég, valamilyen mérték szerint mérhetőnek lenni.)

Gyakorlatban ezt kiszámolni még mindig nem könnyű, ha a tartomány bár mérhető, de nem elég szép (pl. téglalap, kör fölött nem nehéz, Magyarország fölött nehéz:)). Általános esetben csak numerikus módszerek (ergo közelítések) segítenek.

Írj példát, milyen tartomány fölött kellene meghatározni, ha egyszerű, akkor létezik explicit számolás, és megpróbálom kiszámolni neked.

Először is érdemes áttérni polárkoordinátákra.

x=r*cos(t)

y=r*sin(t)

Az áttérésmátrix determinánsa pedig r.

és akkor a függvény f(r,t)=r^2

A négyzetet pedig érdemes kettévágni a (0,0)->(3,3) átló mentén, és csak az egyik kis háromszögre számítani a térfogatot. Az x^2+y^2 ugyanis egy paraboloid, amelynek a tengelye z, így a két háromszög fölött ugyanakkora lesz a térfogat.

A kis háromszög paraméterezése a polárkoordináta rendszerben:

0< t< Pi/4

0< r < 3/cos(t)

Ezalapján a kettősintegrál:

2*Integrál[0tól Pi/4 ig](Integrál[0tól 3/cos(t)-ig]r^2*r dr)dt=

3^4/2*Integrál[0tól Pi/4 ig] (1/cos(t))^4 dt=

ami táblázat alapján

3^4/2 * [1/3 * sin(t)/cos^3(t) + 2/3 * tan(t)][Pi/4 tol 0 ig]=

3^4/2 * 4/3 =

54.

Ha nem számoltam el.

Sajnos elég sután néz ki, hogy nem lehet matematikai jeleket ideírni. :(