Az elmúlt években e feladat egy német matekversenyen került elő. Meg tudod oldani? Többi lent.

Hányadikosaknak szólt ez a feladat?

Csak mert ha 11. osztályosoknak vagy afelettieknek akkor nagyon egyszerű a megoldás: egy x-ed rendű egyenletnek mindig x számú megoldása van. Tehát jelen esetben teljesen mindegy hogy q mennyi, mindig 4 megoldása lesz. (Mivel nem volt meghatározva hogy csak a valós megoldásokat fogadjuk el.)

Eredménynek az jött ki, hogy q = 144;

A számsorozat: -6,-2,2,6;

Megoldás menete:

1) x^2 = y => y^2 - 40 y + q = 0;

2) Megoldom az y-os egyenletet q ismeretlennel: (40 +-sqrt(1600 - 4q))/2

3) Tudjuk, hogy az eredmény egész kell legyen, így a gyök alatt valami egész számnak kell lennie; Ez a szám legfeljebb 40 és lealább 0;

4) Ennek függvényében az y-os egyenlet lehetséges megoldásai 0...40 közötti számok;

5) tudjuk, hogy y^2 = x; tehát még ha gyököt vonok belőle is egész szám kell legyen, vagyis a szóba jöhető eredmények y-ra: 0,1,4,9,16,25,36;

6) x-es egyenlet gyökei számtani sort kell alkossanak, ránézésre egy lehetőség,ha az y-os egyenlet megoldásai a 4 és a 36, mert akkor abból gyököt vonva +-2 és +-6 számtani sort alkot;

7) Nézzük meg, hogy az y-os egyenlet megoldásának tud-e 4 és 36 lenni a gyöke; Ha q = 144, akkor a gyök alá 1024 kerül, aminek a gyöke 32 és azt ha hozzáadod a 40-hez, majd osztod 2-vel, akkor 36-ot kapsz; ha kivonod és osztod 2-vel, akkor 4-et;

8) 36 = +-6^2 és 4 = +-2^2

Szerintem a gondolatmenet alapján vezesd végig te is a számolásokat, mert lehet ha elszámoltam valahol, illetve azt sem gondoltam végig, hogy több megoldás lehetséges-e.

Abból kiindulva, hogy négy valós megoldásnak kell lenni, akkor az x^2-re másodfokú egyenletnek két pozitív megoldásának kell lennie.

Ez azt jelenti, hogy a diszkrimináns pozitív, a megoldások összege pozitív, a megoldások szorzata pozitív.

[link]

Ezek a feltételek azt jelentik, hogy

1600-4q>0 => q<400

40>0

q>0

Ebből köcetkezően 0<q<400.

A számtani sorozat vizsgálata marad hátra.

A megoldásokat keressük így: a-2d, a-d, a+d, a+2d

Írjuk az egyenletet gyöktényezős alakba:

(x-a-2d)(x-a-d)(x-a+d)(x-a+2d)=0

Felbontva és x szerint rendezve kapjuk, hogy

2·a^2 + 6·a·d + 5·d^2=-40

(a + d)^2 ·(a + 2·d)^2=q

Innen látható, hogy q négyzetszám.

Most már csak a négyzetszámokat kell vizsgálni!

Én a második válaszolóhoz hasonló módon gondolkoztam, az eredményem is ugyanaz lett, csak én rajzolgattam és úgy.

1) x^2=y, tehát most az egyenlet y^2-40y+q

2) Teljes négyzetté alakítottam, így az jött ki, hogy (y-20)^2-400+q=0, ha egyelőre q-t 0-nak választod akkor lehet ábrázolni a függvény, kibontod az azonosságot, +400 és -400 üti egymást nyilván (azért -400 van, hogy ugyanaz az egyenlet maradjon a teljes négyzetté alakítás után), így kiemeled y-t és megvan a két gyök, 0 és 40. Ábrázolva tehát a vízszintes tengelyen +20-szal van jobbra eltolva és -400-zal lefelé.

3) A feltétel, hogy egy számtani sorozat egymást követő tagjai legyenek jön. Mivel x^2=y, tehát y-ból még majd gyököt kell vonni így olyan y-okat kerestem, amik négyzetszámok és 0<y<40, hiszen ez látszik az ábrán, ha egy pozitív q-t még hozzá kell adni. Ezeknek a lehetséges négyzetszámoknak a gyökeit leírtam.

4) Itt én kicsit találgattam, azért nincs olyan sok lehetőség ha megnézed, és megkaptam, hogy a -6, -2, 2, 6 egy megfelelő számtani sorozat lenne, tehát y=4 és y=36 biztos egy lehetséges megoldás.

5) Innentől már csak néztem az ábrámat (meg innen akár algebrailag is lehet dolgozni) és láttam, hogy a 20-tól (ami úgymond most a függőleges tengely az eltolás miatt) 16 egységre van a két megoldás, a másodfokú függvény értéke 16-ban 16^2 = 256, ez azt jelenti, hogy a minimuma itt lesz. Innen már csak megnézed mennyit kell adni -400-hoz, hogy -256 legyen, ez pont 144.

A #3 vagyok. Az előbb eltoltam a végét, és találtam egyszerűbbet.

Az látható, hogy ha egy szám megoldása a egyenletnek, akkor annak az ellentetteje is az. a számtani sorozat miatt a megoldások:

-3d/2, -d/2, d/2, 3d/2

A gyöktényeszős alak:

(x+3d/2)(x+d/2)(x-d/2)(x-3d/2)=0

Felbontva a zázójeleket és összevonva:

x^4-5d^2/2*x^2+9d^4/16=0

Innen:

5d^2/2=40

9d^4/16=q,

azaz q=144