Matektanárok! Ebben az esetben mi a lényeg?

Amikor az van írva, hogy bizonyítsd be, akkor az azt jelenti, hogy be kell bizonyítani. Nem vicc, ennél általánosabban nem lehet leírni.

Attól függően, hogy mi a konkrét feladat, különböző bizonyítási módszerek vannak.

Például ha azt kellene bebizonyítanod, hogy létezik páros prímszám, akkor annak az az egyik menete, hogy konkrétan keresel egy ilyen számot. Ha találtál ilyet, akkor kész is vagy. Olyan példát is lehet írni, amelynél nem ennyire egyszerű a helyzet, tehát konkrét számot nem tudunk megadni, de azt tudjuk, hogy biztosan létezik.

Klasszikus példa, hogy bizonyítsd be, hogy végtelen sok prímszám van. Nyilván itt nem elég az, hogy összeszedsz mondjuk 24875142 darab prímszámot, mert adott esetben az is megtörténhet, hogy nem találtad meg az összeset. Ennek a bizonyítását már az ókorban kiokoskodták, és a neten is könnyű megtalálni, úgyhogy annak megtalálását rád bízom.

Az általad hozott példa is többféleképpen bionyítható. Az egyszerűbb bizonyítási mód egy geometriai megközelítést; veszel egy négyzetet, ennek területe 1. Az 1+3-nál az előbbi 1-hez hozzáraksz "L"-alakban 3 négyzetet, ekkor egy 2*2-es négyzetet kapsz. 1+3+5 esetén az előbbi 2*2-eshez 5 darab négyzetet teszel "L"-alakban, így egy 3*3-as négyzetet kapsz. És ez alapján be lehet bizonyítani, hogy mindig lehet így "L"-alakban pakolni a soron következő páratlan számnak megfelelő kis négyzeteket úgy, hogy egy nagyobb négyzetet kapjunk, tehát a végösszeg négyzetszám lesz.

De ha már megadták, hogy 1+3+5+...+(2n-1)=n^2, akkor teljes indukcióval is szépen be lehet látni; látjuk, hogy n=1-re igaz. Tegyük fel, hogy n-ig igaz, nézzük meg, hogy n+1 esetén mi a helyzet:

1+3+5+...+(2n-1)+(2n+1) = (n+1)^2

Most csináljunk egy ilyet:

[1+3+5+...+(2n-1)]+(2n+1) = (n+1)^2

A szögletes zárójelben az indukciós feltevés szerint pont n^2 van, tehát:

n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2, ha a jobb oldalt kibontjuk:

n^2 + 2n + 1 = n^2 + 2n + 1, és ez igaz, teht az állítás is igaz, legalábbis n>=1 egészre.

Még az n=0-t érdemes megnézni, hogy akkor mi van, illetve hogyan lehet értelmezni, ha egyáltalán lehet.

Még egy eszembe jutott; bizonyítsd be, hogy létezik két ember, akiknek ugyanazok a fogaik hiányoznak. Itt nyilván ha találsz két embert, akikre ez igaz, akkor ügyes vagy, de ehhez nem szükséges emberekre vadászni; indirekt tegyük fel, hogy az állítás nem igaz, tehát minden embernek különböző fogsora van. Mivel 32 foga van egy felnőtt embernek, ezért 2^32=4294967296-féle különböző fogsor lehet, viszont a Földön cca. 8 milliárd ember él, így tehát ellentmondsára jutottunk, tehát az eredeti állítás igaz. Itt egyébként a "skatulya-elv" lett felhasználva.

Ha beütöd a Google-be, hogy matematikai bizonyítási módszerek, biztosan fogsz ezzel kapcsolatban találni dolgokat.