Fourier transzformációnál képzetes tag?

A transzformáció csak abban az esetben ad 1 komplex számot ha tiszta szinuszos jelről van szó. Amennyiben több komponens is alkotja úgy már komplex számok sorozatát adja eredménynek. Ezeknek a számoknak az amplitúdója (hossza) adja az adott komponens amplitúdóját, az arctg(Im/Re) pedig a komponens fázisát.

Azért jó hogy kompex számot ad eredménynek, mert az tartalmazza hogy a komponens milyen módon járul hozzá az eredő jelhez. Persze folytonos időben a Fourier transzformáció egy komplex frekvencia függvényt ad, de ott is ugyanúgy kell eljárni. Kiszámolod az amplitúdót és a fázist, majd 2 külön függvényként ábrázolod.

Amplitúdót Pitagorasz tétel szerint számolunk, de gondolom te is tudod :)

A Fourier transzformációt is lehet alkalmazni csillapodó/erősödő jelekre, viszont nem fog több információt adni.

A Laplace transzformáció nem csak a frekvenciakomponenseket hanem az exponenciális komponenseket is megadja.

A LT során az integrálban az "s" változó egy komplex szám. Ha felírjuk az s-t egy a+jwt alakban, akkor tovább bontható az integrál: integrál[0->végtelen]<f(t)*e^-at *e^-jwt> Hoppá! Ez nagyon hasonló a FT-hoz nem? Azt kaptuk, hogy a LT az gyakorlatilag FT, csak meg van szorozva egy exponenciális taggal.

Az e^-jwt tovább bontható az Euler formula segítségével:

e^-jwt = cos(wt)-jsin(wt). Azaz itt megkaptuk valójában a Fourier transzformációt. Ez lesz a LT imaginárius alakja.

A valós alakot az e^-at adja. Ebből kapjuk meg a jelben előforduló exponenciális tagokat. Abban az esetben ha ez 0 (azaz csillapítás nélküli, periodikus jelünk van) akkor a LT egyben FT is (s=jw)

Ha tanultál szabályzástechnikát akkor ott a pólus-zérus elrendezést LT segítségével határoztátok meg. Volt egy olyan érdekes eset, amikor a pólusok pont az imaginárius tengelyen helyezkedtek el (valós tag 0). Ekkor a rendszer pont a stabilitás határán volt, azaz a kimeneti jel exponenciális tag nélkül oszcillált. Ha leolvastad a pólust, akkor megkaptad milyen frekvencián lesz az oszcilláció.

Aztán volt olyan is, hogy a pólus a negatív valós félsíkon helyezkedett el. Ez azt jelentette, hogy csillapodása volt. A csillapítási tényezőt a valós, a frekvenciát pedig a képzetes tengelyről olvastad le.

A harmadik eset, hogy a pozitív valós félsíkon helyezkedett el, ekkor viszont a jel exponenciálisan erősödött.

A LT akkor ad végtelent (pólus) amikor pontosan megtalálta a jelben a frekvenciát ÉS a csillapodást/erősödést.

Remélem nem írtam semmilyen hülyeséget, és segíthettem a megértést :)