1/1,2/2,3/1,4/3,5/2,6/1,7/4,8/3,9/2,10/1, . ,2006/? Milyen szamot irjunk a kerdojel helyere?

1. Szándékosan nem a 2006-hoz tartozó számot fogom levezetni, hanem egy másik számhoz, mondjuk az 1848-hoz tartozót, mert nem megcsinálni akarom helyetted, hanem megértetni veled, hogy hogyan kell megcsinálni.

2. Olvashatóbb, ha hasonló esetben valahogy így írod ki a kérdést:

Kérdés: „Mi az alábbi sorozat 2006. tagja?”

Részletek: „A sorozat:

1, 2, 1, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1, …”

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

A minta a következő:

[ 1 ], [ 2, 1 ], [ 3, 2, 1 ], [ 4, 3, 2, 1 ], [ 5, 4, 3, 2, 1 ]

Ha így sem érthető: Mindig eggyel nagyobb számtól számolunk vissza 1-ig.

Az egyes csoportokban mindig 1-el több elem van, mint az előzőben, hiszen mindig eggyel nagyobb számtól számolunk vissza. Az első csoportban 1, a másodikban 2, a harmadikban 3 elem van, stb… Ez egy számtani sor.

Elsőnek azt kell kiszámolni, hogy hányadik csoportban van ez az 1848. elem. A csoportok száma legyen „n”. Így „n” csoport esetén a teljes sor hossza az 1-el kezdődő, 1 differenciájú sorozat összege lesz. Ha ez kínai volt, akkor:

Egy csoportból álló sorozat esetén a sorozat elemeinek száma: 1.

Két csoportból álló sorozat esetén a sorozat elemeinek száma: 1+2.

Három csoportból álló sorozat esetén a sorozat elemeinek száma: 1+2+3.

Négy csoportból álló sorozat esetén a sorozat elemeinek száma: 1+2+3+4.

Stb.

n csoportból álló sorozat esetén a sorozat elemeinek száma:

n*(1+n)/2

( ( ( ( ( ( (

Ugye a számtani sorozat összegképlete:

S = n * (a[1] + a[n]) / 2

Ahol most itt:

a[1] = 1

d = 1

a[n] = a[1] + (n-1)*d = 1 + (n-1)*1 = n

Tehát:

S = n * (a[1] + a[n]) / 2 = n * (1+n) / 2

) ) ) ) ) ) )

Nekünk a legnagyobb olyan „n” kell, amire:

n*(1+n)/2 < 1848

n*(1+n) < 3696

n²+n-3696 < 0

Ha a

n²+n-3696 = 0

egyenletre használjuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét, ez jön ki:

n₁ = −61,296…

(Ez nyilván nem jó, mert mi a csoportok számát keressük, ami nem lehet negatív.)

n₂ = 60,296…

Tehát ha n=60, azaz hatvan csoport van, akkor a sorozat elemeinek száma:

60*(1+60)/2 = 1830

Ha n=61 lenne, akkor a sorozat elemeinek száma:

61*(1+61)/2 = 1891

1830 < 1848 ≤ 1891

Ebből ugye megtudtuk, hogy az 1848. eleme a sorozatnak a 61. csoportban van. Addig 60 csoportot végig leírtunk, azaz összesen 1830 elemet. A 61. csoporton belül tehát mi a 1848-1830=18, azaz tizennyolcadik elemet keressük.

A 61. sorozat 61-től számol vissza:

Az 1. eleme a 61,

a 2. eleme a 60,

a 3. eleme az 59,

az „k”-dik eleme: 61-k+1

( ( ( ( ( ( (

Ez is egy számtani sor ugye, csak itt most:

a[1] = 61

d = -1

a[k] = a[1] + (k-1) * d = 61 + (k-1)*(-1) = 61 - k + 1

) ) ) ) ) ) )

Mivel ez a 18. elem a csoportban, így 61-18+1=44.

Azaz az 1848. eleme a teljes sorozatnak a 44 lesz. (Ez a 61. csoport 18. tagja.)