Másodfokú egyenletnél miért van 2 megoldás?

Vegyük a legyeszerűbb másodfokú egyenletet:

x² = 1

Oké. Ennek két megoldása van.

x[1] = 1

x[2] = -1

Ellenőrzés:

1*1 =1

és

-1 * -1 = 1

Mindkettő jó megoldás.

Nézzük meg kissé szemléletesebben, ábrázoljuk grafikonon:

y = x²

Ez valahogy így néz ki:

[link]

Mikor az a kérdés, hogy mik a gyökei x²=1 -nek, akkor igazából az a kérdés, hogy melyik pontokon lesz az y koordináta pontosan 1, és ezeknek a pontoknak mik az x koordinátái. Ilyenből láthatóan kettő is van.

Néha előfordul, hogy a két gyök azonos. ez a parabola csúcspontjánál van. Pl.: x² = 0

Itt a -0 és a +0 lenne a két megoldás, de ez meg ugye ugyanazt a számot jelenti.

> Nah jah most eszembejutott h kell kikötést, asszem így h

Nem kell ilyen kikötés. Az egyenletben egy négyzetes kifejezés van. (x+2)-nek kell a négyzetét venni. Márpedig negatív számnak is lehet négyzete. Pl. a (-2)² = (-2) * (-2) = 4

Kikötést akkor kell tenni, ha az adott művelet nem végezhető el bármilyen számon.

Pl. ha gyök lenne, akkor a √(x+2) esetén kell kikötést tenni, hiszen a gyökvonás csak nemnegatív számokra értelmezhető. A valós számok halmazán nem értelmezhető egy negatív szám gyöke. √(-2) pl. nem értelmezhető. Ilyenkor kell tenni kikötést, hogy (x+2)-nek nagyobbnak vagy egyenlőnek kell lennie nullával. Mert ha nem, az nem lehet valós megoldás, hiszen visszahelyettesítve nem tudnánk gyököt vonni belőle, így biztos nem állhat fenn az egyenlőség.

Azért van két megoldás. mert a négyzetes összefüggés nem ad információt az x előjeléről. (-2 és 2 négyzete is 4)

Így figyelembe kell vennünk, hogy bár alapvetően a 4 négyzetgyökének 2-t tartjuk, de inverz irányban, négyzetre emelésnél -2 négyzete is 4-et ad. A megoldásnál tulajdonképpen nem gyököt akarunk vonni, hanem megtalálni azt az ismeretlen számot, aminek értéke egyenlőséget ad a négyzetes tagot tartalmazó egyenletben.