Egy gyár az egyik évben 50%-al, a következő évben 20%-al növelte a termelést. Így a második évben 15 300 darabot állított elő termékéből. Hány darab volt a termelés eredetileg, és hány darab a harmadik évben?

Nem tudom, hogy a százalékszámítás értésével van gondod, vagy csak ez a feladat fogott ki rajtad.

Ezért először a százalékszámításról írok, de, ha nincs rá szükséged: ugorj a „M_E_G_O_L_D_Á_S”-hoz.

I_S_M_E_R_T_E_T_Ő

A százalék, az század.

Például 50%, az 50/100.

A tört értéke nem változik, ha a számlálót és a nevezőt ugyanazzal az értékkel osztjuk (egyszerűsítés). Ha 50-nel egyszerűsítünk, akkor 1/2-et kapunk, ami másképp: egy fél.

A tört jel, osztás műveletet jelöl ki. Ha elvégezzük a műveletet, akkor tizedes-tört alakot kapunk. Végezzük el: 50/100=0,5. (Fél.)

Például 100%, az 100/100, vagyis 1. (Egész.)

Például 75%, az 75/100, azaz (egyszerűsítve) 3/4. (Háromnegyed.)

Például 25%, az 25/100, azaz (egyszerűsítve) 1/4. (Negyed.)

Például 20%, az 20/100, azaz (egyszerűsítve) 1/5. (Ötöd.)

Ezeket a gyakorlatban használjuk is, mert fejben, sokszor könnyebb valamit 4-gyel osztani, mint 25-tel szorozni, majd 100-zal osztani.

És 100%, az egész, a bázis, nagyon sok minden lehet. Például, ha egy osztálylétszám 28 fő, akkor ez a teljes létszám, az egész, vagyis a 100%. Egy másik osztályban lehet, hogy 35 fő az osztálylétszám, ott az a 100%. Ha, járványos betegség miatt az elsőből hiányzik a tanulók 25%-a, azaz 1/4-e: 28 negyede 7. Ha a másikból a tanulók 20%-a hiányzik, azaz 1/5-e hiányzik, az is 7 fő.

Ha egy 6000 Ft-os cipő árát, akcióban, 40%-kal csökkentik, akkor a 6000-nek a 40/100-ával csökken az ár. 6000*40/100=2400 Ft-tal csökken az ár.

Ha, például, 1-et 50%-kal növelünk, akkor – a fentiek szerint – a felét, vagy 0,5-ét adjuk hozzá; így 1,5 lesz, az eredeti érték 1,5-szerese.

Ha, például, 100-at 50%-kal növelünk, akkor – a fentiek szerint – a felét, vagy 0,5-ét adjuk hozzá. 100-nak a fele: 50. Ha 100-hoz hozzáadunk 50-et, akkor 150 lesz, az eredeti érték 1,5-szerese.

Vagyis, ha valamit 50%-kal növelünk, akkor a felét adjuk hozzá, így az eredeti érték 1,5-szerese lesz az 50%-kal növelt érték.

Ha 100 Ft-hoz hozzáadunk 50-et, akkor (100+50) 150 Ft lesz az összeg. Ha ebből elveszünk 50 Ft-ot, akkor (150-20) 100 Ft lesz az új összeg, ami az eredeti volt.

Ha 100 Ft-hoz hozzáadunk 50%-ot, akkor 100+(100*50/100)=100+50=150 Ft lesz az összeg. Ha ebből elveszünk 50 %-ot, akkor 150-(150*50/100)=150-75=75 Ft lesz az új összeg, ami nem egyezik az eredetivel.

Ennek az a magyarázata, hogy ha bármilyen értékhez hozzáadunk 50 Ft-ot, vagy elveszünk 50 Ft-ot, az érték mindig 50 Ft-tal változik. Az 50 Ft értéke nem függ attól, hogy mihez adjuk, vagy miből vesszük el.

Adott százalék viszont nem jelent állandó mennyiséget. 1000-nek az 50%-a (50/100-a, azaz 1/2-e, vagyis fele) 500. 26-nak az 50%-a (50/100-a, azaz 1/2-e, vagyis fele) 13. Bár a %-érték mindkét esetben 50% volt, az alap viszont, aminek 50%-át vettük, más és más.

Amikor 100 Ft-ot 50%-al növeltük, egy 100-nál nagyobb összeget kaptunk. Ennek a nagyobb összegnek nagyobb a fele, azaz 50%-a is, így már nagyobb összeget kellett levonni, mint amit a 100 Ft-hoz hozzáadtunk.

(Lehetne még ismertetni a kamatos kamat számítást, illetve a több lépcsőben való csökkentés, növelés számítását, de a megoldáshoz ezekre nincs szükség.)

M_E_G_O_L_ D_ Á_S

Az 1. évben valamennyi darabot gyártottak. Ez a kiindulás, az alap, a 100%.

A 2. évben 50%-kal többet gyártottak, és ez a több: 15300 db.

A 3. évben a 2. évihez (a 15300 db-hoz) képest 20%-kal többet gyártottak.

Kezdjük a 3. évvel.

A kiinduló alap a 2. évben gyártott 15300 db, ezt tekintjük alapnak, egésznek, azaz100%-nak. Ennek a 20%-a, vagyis 20/100-a, 15300*20/100=3060. Ennyivel gyártottak többet. 15300+3060=18360. Ennyit gyártottak a 3. évben.

(Ha kihasználjuk azt, hogy a 20% egy „nevezetes” %-érték, méghozzá 1/5, akkor a 15300 1/5-ét véve egyszerűbben megkapjuk a 3060-at.)

Két lépésben számoltunk, kiszámoltuk, hogy hány darabot jelent a 20%, majd hozzáadtuk a bázis összeghez.

Lehet egy lépésben is számolni. Ha 20%-kal nőtt a termelés, (és, természetesen, a bázis, az alap, az egész a 100%), akkor 100%+20%=120% lett. És, ugye, a százalék, az század. A 120%, az 120/100. Ha a bázis darabszám 120%-át, azaz 120/100-át kiszámoljuk, az 15300*120/100=18360.

A 3. évben 18360 db-ot gyártottak.

És akkor az 1. év.

A 2. évben 50%-kal gyártottak több darabot, mint az elsőben. Az rossz megoldás lenne, ha a 2. év, ismert darabszámát 50%-kal csökkentenénk, mert nem a 2. évi darabszám az alap. Az 1. év az alap (a 100%), és annak 50%-ával nőtt a termelés; nem pedig a 2. év darabszámának 50%-ával. (Az ismertetőben, példával, bemutatattam, hogy lényeges, hogy mi az alap, aminek adott részét, adott %-át vesszük.)

Az 1. évi darabszámot, az alapot nem ismerjük, jelöljük x-nek.

Az első évi darabszám 50%-kal nőtt, azaz x+(x*50/100) lett a 2. évi darabszám. Ami adott, 15300. Vagyis

x + (x * 50 / 100) = 15300 // bal oldalon x-et kiemeljük

x * (1 + (50 / 100)) = 15300 // mindkét oldalt osszuk 1+(50/100)-zal

x = 15300 / (1+(50 / 100)) // 1+(50/100)=1,5

x = 15300 / 1,5 // 15300/1,5=10200

x = 10200

Az 1. évben 10200 db-ot gyártottak.

Ellenőrzés: 10200+(10200*50/100)=10200+5100=15300

És egy tanács: ha ilyen segítségre van szükséged, akkor a „Közoktatás, tanfolyamok” kategórián belül a „Házi feladat”-ba írd! Ott sokkal hamarabb rátalálnak olyanok, akik segíteni tudnak.