Hogy szerkesztenétek meg azt az ABC háromszöget, ahol adottak az A1, B1, C1 pontok, amelyek rendre a BC, CA, AB oldalakon a B, C, A pontokhoz közelebb eső harmadolópontok?

Az könnyen belátható (vektorokkal), hog yaz ABC és az A1B1C1 háromszögek súlypontja egybeesik.

Ezt könnyen megszerkesztheted az A1B1C1-ből kiindulva.

Mivel a súlypont harmadolja a súlyvonalakat, ezért pl. az A1S egyenes párhuzamos az AB oldallal. (Hiszen a C-ből induló súlyvonalat ugyanúgy osztja S, mint a CB oldalt az A1, így a párhuzamos szelők tételének megfordítása miatt...)

ÍGy tehát a C1 ponton át szerkeszthetsz egy párhuzamost az A1S egyenessel, ez lesz az AB oldalegyenes.

Ezt a másik két esetben is elvégezve kijön az ABC háromszög.

Egy másik megoldás:

Legyen A2, B2, C2 az A1B1C1 háromszögből hasonló módon gyártva, mint ahogyan ABC-ből A1B1C1: tehát A2, B2, C2 a B1C1, C1A1, A1B1 oldalakon a B1, C1, A1 pontokhoz közelebb eső harmadolópontok.

Vektorok segítségével könnyen igazolható, hogy az A2B2C2 háromszög oldalai párhuzamosak az ABC háromszög oldalaival (és a hosszuk pedig az eredeti háromszög oldalhosszainak a harmadai).

Tehát a szerkesztés:

- az adott A1B1C1 háromszögből elkészítjük az A2B2C2 háromszöget;

- az A1B1C1 háromszög csúcsain keresztül párhuzamosokat húzunk A2B2C2 megfelelő oldalaival. A keletkező egyenesek által meghatározott háromszög lesz a keresett ABC háromszög.