Határozott idejű szerződés lejárta esetében mi az eljárás? (bővebben lent)

Ha december végén lejár a munkaviszonyom és január első hetében már máshol létesítenék munkaviszonyt, akkor mikor köteles legkorábban visszaadni a hamarosan volt főnököm a TB kiskönyvemet és az egészségügyi kiskönyvemet?

Illetve kilépő papírt mikor kaphatok legkorábban?

Ha a leendő főnököm úgy szeretné, hogy ne szakadjon meg lehetőleg a TB jogviszonyom, és a szerződés lejártát követően a leghamarabb tudjon velem új szerződést kötni, akkor mindenképp tudnia kell a volt főnökömnek arról, hol dolgoznék tovább? Szerettem volna ezt titokban tartani, de ez így lehetséges?