Hogyan lehet két pontból függvényt készíteni?

Két pontra végtelen sok parabola illeszthető. Három pont kellene.

Hogy lehet két pontra egy egyenest illeszteni? Az egyenes egyenlete:

y = ax + b

Ha van két pontod, akkor egyszerűen ennek a két pontnak a koordinátáira behelyettesíted az egyenletet, így kapsz két egyenletet, két ismeretlennel (a és b), és egyszerűen megoldod az egyenletrendszert. A példádban:

3.4 = a*4 + b

-1.4 = a*8 + b

Megoldva azt kapod, hogy:

a = -1.2

b = 8.2

Tehát az egyenesed képlete:

y = -1.2 * x + 8.2

~ ~ ~

A parabola képlete:

y = a(x-b)² + c

Ha van három pontod, akkor annak a koordinátáit behelyettesíted, kapsz három háromismeretlenes (a,b és c) egyenletet, amit szintén meg kell csak oldani. Ha csak két pontod van, akkor valamelyik paramétert szabadon megválaszthatod. Pl. ha b-t nullának veszed, akkor egy y tengelyre szimmetrikus parabolát fogsz kapni. Ha c-t veszed nullának, akkor egy olyan parabolát fogsz kapni, aminek a minimuma/maximuma 0.

Adott koordináták esetén pl. az x tengelyre szimmetrikus parabola

3.4 = a*4² + c

-1.4 = a*8² + c

Ebből:

a = -0.1

b = 5

Tehát a függvényed:

y = -0.1 * x² + 5

Na jó, nézzük meg azt is, ha a parabola az x tengelyt érinti, tehát c-t veszed nullának. Ugye egy ilyen parabola vagy teljes egészében az x tengely felett van (pl.: y=x²) vagy teljesen alatta (pl.: y=-x²), de mivel itt az y koordináta pozitív és negatív értéket is felvesz, ilyen parabola nincs.

(Még a harmadik opció, ha a parabola „karcsúságát” fixálod, azaz a-t veszed 0-nak. Illetve bármelyik paramétert veheted valamilyen más értéknek is.)

Induljunk el fordítva. A függvények nemcsak felrajzolhatók, hanem jól meghatározott tulajdonságaik vannak. Ezért minden függvényről meg lehet mondani, őt hány pontja határozza meg egyértelműen.

Ezért azonnal meg lehet mondani, hogy bizonyos feladatoknak mi a megoldása. Itt például a parabolát három pontja teszi egyértelművé, nekünk csak kettő van, tehát végtelen sokféle parabola van, amire teljesül, hogy átmegy két ponton.

Tétel: n darab pontra legfeljebb n-1 edfokú polinom illeszthető. Ez a Lagrange-féle interpolációs polinom.

Ha n darab ponthoz p-edfokú (p<<n) polinomot akarunk, akkor a pontok közé tesszük a görbét, pl. a legkisebb négyzetek módszerével, amikoris a pontoktól való távolság négyzetét minimalizáljuk. Igazolható, hogy ez lineáris egyenletrendszer megoldására vezet, abból jönnek ki az együtthatók.

Másik megoldás lehet, hogy a pontokra illesztünk görbét, de szakaszonként, pl. harmadfokú splineokat.

Ugye még azt meg kell említeni, hogy függvény alatt mit értünk, mert a félreértés óriási.

Ha van két pontod, akkor már az is függvény, mégpedig diszkrét függvény.

A függvény definíciója meg már általános iskolás szinten is az (mégha erre sokan nem is emlékeznek) hogy adott két halmaz, és a kettő között hozzárendelés értelmezünk.

Nos esetedben adott az X={4,8} és Y={3.4, -1.4} halmazok. Nyilvánvaló, hogy a két pontot valamely f: X->Y diszkrét függvény reprezentálja.

Amit te neveztél/neveztetek eddig függvénynek, az a folytonos leképezésre vonatkozott.