Miért nem mennek matematikából a szöveges feladatok?

A matematikának van jelentése. De a jelentés ismeret nélkül is sikeresen meg lehet oldani egy matematikai feladatot. Pl. ha valaki bemagolja, hogy „törttel úgy osztunk, hogy a reciprokkal szorzunk”, azt gépiesen be lehet tanulni, sikeresen alkalmazni, anélkül, hogy az illető meg tudná indokolni, hogy miért így kell törttel osztani; fel tudna hozni egy olyan példát, amin keresztül vizuálisan érzékeltetni tudná, hogy milyen logikus megfontolások mentén magától értődő, hogy ezt így kell csinálni.

Az egyenletek megoldásánál is így van ez. Van olyan sejtésem, hogy te azokat a „recepteket” ismered, amikkel sikeresen meg lehet oldani egy egyenletet, és kevésbé erős benned az a kép, hogy tulajdonképpen mit is jelent az egyenlet, mi az a *valós* történés, amit az egyenlet megoldásának egy-egy lépése reprezentál.

Az egyenlet egy mérleg. Ami a bal oldalán van az egyenlő azzal, ami a jobb oldalán van. Ergo azzal egyenértékű, azzal helyettesíthető, azzal azonos a vizsgált szempontból. Mikor elosztom az egyenlet mindkét oldalát 2-vel, akkor tulajdonképpen ugyanazt a mennyiséget osztom 2-vel a bal és a jobb oldalon is, ezért lesz azonos. Ha a bal oldalon 2 pár virsli van, a jobb oldalon meg 4 szál virsli, akkor a kettő ugyanaz, ha kettővel leosztom mindkét oldalt, akkor ugyanúgy 2 szál és/vagy 1 pár virsli lesz a bal oldalon, és ugyanúgy 2 szál virsli lesz a jobb oldalon. Ez nem pusztán egy matematikai eljárás, hanem egy valóságra lefordítható cselekmény.

~ ~ ~

Egy valós probléma matematikával való megoldásának négy lépése van:

1. Megmérünk és/vagy ismerünk bizonyos dolgokat. Mondjuk van egy 20%-os ecetünk, meg vizünk, és az a problémánk, hogy mennyi vizet kell tenni az ecethez, hogy 10%-os ecetet kapjunk. Nyilván itt ismerjük az ecet koncentrációját. A térfogatát nem biztos, így azt esetleg lemérjük. A végső koncentráció meg adott. Nyilván van valami fizikai összefüggés, matematikai képlet formájában, amit alkalmazni kell. Viszont nem mérünk le olyan dolgokat, amik az ismert összefüggések alapján lényegtelen, pl. az ecet törésmutatóját, elektromos ellenállását nem mérjük meg, mert a probléma szempontjából lényegtelen.

2. Ezt az egészet aztán a matematika absztrakt nyelvére fordítjuk, ahol már csak számok, ismeretlenek, meg közöttük fennálló viszonyok vannak, és tulajdonképpen mindegy is már, hogy térfogatról, hőmérsékletről, ellenállásról van szó, pusztán a mértékegységüket vesztett mennyiségek összefüggéseit tartjuk meg.

3. Ebben az absztrakt térben aztán megoldjuk a matematika segítségével a problémát, kapunk egy megint csak jelentés, mértékegység nélküli eredményt.

4. Ezt az eredményt aztán visszavetítjük a valóságra, ahol újra értelmet nyer, mennyiséget, jelentést kap, újra egy ellenőrizhető, mérhető világban vagyunk.

Aki rossz matekból annak a 3. lépéssel vannak komoly gondjaid. De azt írod, neked ezzel nincs gondod, hanem a 2. lépés az, amivel gondjaid vannak. Nálad az veszhetett el, hogy bár a matematika absztrakt, mégis csak *valaminek* az absztrakciója, és ez a valami konkrét.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Vegyünk egy szöveges feladatot. Pl.:

Egy horgász azt mondja: „Azt reméltem, hogy 20 halat fogok fogni, de ha háromszor annyit fogtam volna, mint amennyit fogtam, akkor is 2-vel kevesebbet fogtam volna, mint amennyit reméltem.”. Mennyi halat fogott a horgász?

Jön az egyik legnehezebb és egyben legkönnyebb feladat: Meg kell határozni, hogy mit veszünk ismeretlennek. Ez két okból könnyű:

- Az esetek 95-98%-ban a szöveges feladatok megfogalmazása olyan, hogy praktikus azt ismeretlennek venni, amire a feladat rákérdez.

- A másik ok, ami miatt ez könnyű, hogy bármit is veszel ismeretlennek, a megoldási menet működni fog, csak lehet, hogy abból származtatni kell további számításokkal, azokat a valós mennyiségeket, amire a feladat rákérdez.

Ami miatt nem könnyű ez:

- Vannak esetek, amikor nem mindenkinek triviális, hogy egyáltalán hány ismeretlennek kell dolgozni.

- Vannak olyan feladatok, ahol nem feltétlenül akkor a legkönnyebb a számolás, ha a megkérdezett mennyiséget vesszük ismeretlennek, sokkal egyszerűbbé válik, ha valami mást jelölünk ismeretlennek. De erre meg nincs recept, erre csak rá lehet érezni.

~ ~ ~

Ennek mentén tehát kijelöljük, hogy mi az, amit ismeretlennek tekintünk. Ez a halak száma lesz, amit a horgász fogott, és ezt fogjuk x-nek jelölni.

Innen egyszerűen a szöveges feladat részmegállapításait kell értelmezni, és a matematika nyelvére fordítani.

> ha háromszor annyit fogtam volna, mint amennyit fogtam

Ha ugye x halat fogott a horgász, akkor ez a háromszor annyi hal 3x darab halat jelent.

> akkor is 2-vel kevesebbet fogtam volna, mint amennyit reméltem

Mivel a horgász előtte azt állította, hogy azt remélte, hogy 20 halat fog fogni, a mondat ezt jelenti

> akkor is 2-vel kevesebbet fogtam volna 20-nál.

Tehát ez a 3x darab hal pont 2-vel kevesebb, mint a 20 darab hal. Kevesebb, tehát ha ez a hiányt kipótoljuk, és az 3x darab halhoz hozzá teszünk még kettőt, akkor kapunk pont 20 darab halat. Ergo:

3x + 2 = 20

~ ~ ~

De nyilván ez azért általános iskolai matek. Ha tudsz olyan példát hozni, amivel meggyűlt a bajod, akkor azt is tudjuk kicsit szájbarágósabban elemezni. A lényeg viszont ugyanaz:

1. Jelölj ki egy ismeretlent.

2. A szöveges feladat minden egyes megállapítását, kifejezését fordítsd le ennek tükrében matematikai kifejezésre, azaz minden egyes megállapításnál végezd el az absztrakciót, a fenti valós probléma megoldási folyamatban a 2. lépést. Ehhez folyamatosan szem előtt kell tartanod, hogy egy-egy matematikai kifejezés pontosan milyen valós jelentéssel bír.

3. Ezekből szépen építkezve fogod megkapni azt az egyenletet, amit aztán már a matematika keretén belül meg tudsz oldani.