Körmozgásnál ha egyszerre igaz az, hogy a centripetális gyorsulás v^2/r és r×omega^2, akkor most ez az a_cp egyenesen is meg fordítottan is arányos a sugárral?

Mind a kettő igaz!

Állandó kerületi sebesség esetén fordított, állandó szögsebesség esetén egyenes az arány.

a = v²/r

a = ω²*r

Csakhogy:

v = r*ω

a = v²/r = r²ω² / r = ω²*r

Minden szépen konzekvensen összeáll:

Azonos ω esetén: A v egyenesen arányos a sugárral, így a v² négyzetesen arányos a sugárral, így a v²/r tulajdonképpen egyenesen arányos a sugárral.

Megfordítva:

ω = v/r

a = ω²*r = v²/r² * r = v²/r

Azonos v esetén: Az ω fordítottan arányos a sugárral, így ω² négyzetesen arányos a sugár reciprokával, így a v²/r simán fordítottan arányos a sugárral.

~ ~ ~

Máshogy megközelítve, a dolgok akkor lenne ellentmondásos, ha adott v esetén úgy tudnád csökkenteni, növelni a sugarat, hogy a ω változatlan maradna, illetve viszont. Csakhogy ez így nem lehetséges az v = r*ω összefüggés miatt.

Analóg példa, az elektromos teljesítmény esetén:

P = I² * R

P = U² / R

A teljesítmény fordítottan, vagy egyenesen arányos az ellenállással? Látszólag ellentmondásos a két képlet, amíg nem látjuk meg, hogy:

R = U / I.

Ergo ha azonos feszültséget veszünk, akkor az ellenállással fordítottan arányos a teljesítmény a P = U²/R képletben. Az áramerősség azért nem játszik ebben az esetben, mert azonos feszültség esetén az I = U/R miatt az áramerősség négyzetesen arányos az ellenállás reciprokával, így végeredményben a P = I² * R esetén bár az R-ben első hatványon van az R, de az I-ben meg az I=U/R miatt 1/R²-es szorzó jön be az I² * R képletbe. Végeredményben az I² * R is fordítottan lesz arányos az ellenállással.

Ha meg azonos áramerősséget nézünk, akkor is ugyanez a helyzet, azonos áramerősség esetén a teljesítmény egyenesen arányos az ellenállással. De az U = I*R miatt az U² / R -ben bár a teljesítmény látszólag fordítottan arányos az R-el, de az U viszont négyzetesen arányos az R-el, tehát összességében az U²/R képletben is egyenes arányosság van a teljesítmény és az ellenállás között.