Valaki segítene megoldani ezt a kezdeti érték problémát?

Vegyük mindkét oldal Laplace-transzformációját:

s*Y(s)-y(0)-Y(s)=2/s^2

(s-1)Y=2/s^2+1

Y=2/(s^3-s^2)+1/(s-1)

Ezt parciális törtekre bontva, majd alkalmazva az inverz laplace transzformációt kapjuk, hogy: y(x)=3exp(x)-2(1+x)

Úgy vélem, te magát a problémát nem érted. Ha ezt a levezetést megkapod, a következőt nem fogod érteni.

Ez egy differenciálegyenlet. Azaz adott egy függvény (amit még nem ismerünk), és tudjuk róla, hogy a differenciálhányadosa a teljes értelmezési tartományon a függvénytől magától, és a változójától is függ. Vajon milyen függvény lehet az ilyen? A differenciálegyenleteket minőségük szerint kategóriákba soroljuk (ahogy a sima egyenleteket is: elsőfokú, másodfokú, egyismeretlenes, stb.). Tudjuk, hogy az egyes kategóriákba tartozó egyenleteket milyen szabályok alapján lehet kifejezni az ismeretlenekre vonatkozóan explicit módon). De tudunk még valami fontosat: a differenciálegyenletek nem egy konkrét függvényt határoznak meg (ahogy az egyenletek egy konkrét értéket), hanem egy függvényosztályt, amelynek a lefutása (amit a differenciálfüggvény leír) mind azonos, de sokféle konkrét értéket vehet fel (Például egy szimpla parabola csúcspontját teheted az origóba és bárhová, mind más függvény, de a differenciálegyenlet, amiből ez kijön, egy darab). Tehát az egyértelműséghez meg kell adni a kérdéses (keresett) függvény egy konkrét pontját (mondjuk, hogy a parabola csúcspontja legyen az origóban, az x tengelyen valahol, vagy másutt).

Az adott feladat esetén tehát a következő lépéseket ekll elvégezni.

1. Megnézzük a differenciálegyenletet, és felismerjük, milyen kategóriába tartozik. Ha nem ismerjük fel, utánajárunk, mert addig úgyse lehet folytatni.

2. A megtalált kategória egyben azt jelenti, megtaláltuk a módszert, ahogy azt a differenciálegyenletet kezelni kell, azaz megoldani. Megoldjuk és felírjuk a függvényosztályt. Ez általánosan f(x).

3. Kiválasztjuk a kezdeti értéknek megfelelő függvényt az osztályból, azaz behelyettesítjük a megadott adatot. És ezzel megvan a végeredmény.

4. Nem árt visszahelyettesíteni az eredeti egyenletbe, mert tévedhettünk, hibázhattunk, és ezt illik ellenőrizni. (legalábbis, ha az iskolában értékelhető jegyet szeretnénk, az életben pedig el akarunk kerülni hatalmas problémákat - mondjuk egy híd nem szakad le azért, mert hibásan oldottunk meg egy stabilitásra vonatkozó egyenletet).