A matematikában hogyan igazolják ezt?

Mondok jobbat; 0 és 1 között pont annyi racionális szám van, mint 1 és végtelen között!

Végtelen halmazok esetén úgy látjuk be, hogy megmutatjuk, hogy egy adott szabály szerint mindegyik számhoz pontosan 1 szám rendelhető, és fordítva.

Arra kell gondolni, hogy egy 3 éves (aki nem ismeri a számokat), hogyan tudja megállapítani, hogy két cukorhalmazból melyikben van több cukor? Úgy, hogy mindegyik halmazból kivesz egy-egy cukrot, és ezt addig csinálja, amíg valamelyik el nem fogy, így a másikban volt a több. Érthető okokból ez végtelenek esetén nem működik, viszont az igaz, hogy ha egyesével kiveszünk számokat a halmazból, akkor mindig ugyanannyi számot veszünk ki a halmazokból, tehát párba lehet őket állítani, és ha mindenkinek van párja, akkor értelemszerűen a két halmazban ugyanannyi szám található.

Az általam leírt felvetésre a válasz az, hogy ha a (0;1) halmazból kivesszük az x számot, akkor az (1;végtelen) halmazból az 1/x-et vesszük ki, például az 1/5-höz kivesszük az 1/(1/5)=5 számot. Értelemszerűen minden (nem 0) számnak csak egy reciproka van, tehát itt egyértelmű párokat kapunk minden számra, tehát a két halmazban ugyanannyi szám van. A felvetésedre próbálj meg hasonló szabályt megadni, és ha sikerül, akkor már be is láttad, hogy a két halmaban pontosan ugyanannyi szám van.

Ez biztos, hogy nem igaz. 0-1 -ig a legnagyobb szám az 1. 0-2-ig 2.

1 < 2. 1-2 között végtelen sok szám van amely nagyobb mint 0-1.

> Van egy nagyon furcsának tűnő állítás miszerint a 0 és 1 között lévő racionális számok nagysága megegyezik a 0 és 2 között lévő racionális számok nagyságával.

Nem nagysága, hanem darabszáma/számossága.

[link]

Ez felépíti a fogalmakat, illetve belátja, hogy ugyanannyi racionális szám van, mint természetes szám. Hasonlóan be tudod látni, hogy ugyanannyi 0-1 közötti racionális szám van, mint természetes szám, és hogy ez megegyezik azzal, mint ahány 0-2 közötti racionális szám van.

Jó olvasást.

Talán elfér egy geometriai indoklás is:

A (0,2) pontból a [(0,1),(1,1)] 1-hosszú szakasz belenagyítható a [(0,0),(0,2)] 2-hosszú szakaszba; amely szakasz visszakicsinyíthető az 1-hosszúba.

Akármelyik szakaszon veszel fel egy racionális pontot, ahhoz tartozni fog a másik szakaszon is egy racionális pont.

Párba állítottuk a pontokat, tehát ugyanannyian vannak.

(ehhez kéne ábra is, de most olyanom nincs)

- -

Ilyesmi ábra valószínűleg lesz a tankönyvedben, csak győzd kivárni.

Van itt két halmaz. Az egyikben – nevezzük A halmaznak – a 0 és 1 közötti számok vannak. A másikban – nevezzük B halmaznak – a 0 és 2 közötti számok vannak.

A két halmaz elemei között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést lehet létrehozni.

Ha veszünk egy tetszőleges számot az A halmazból – mondjuk például a 0,23-at –, akkor a B halmazból ehhez hozzá lehet rendelni pontosan egy darab számot, a 2x-et, a példánkban 0,46-ot. Minden A halmazbeli számnak van párja és pontosan egy párja van, nincs két olyan szám az A halmazban, aminek a B halmazban azonos a párja.

Ugyanígy B halmazból is vehetsz egy tetszőleges számot – mondjuk az 1,32-t –, ehhez megint csak hozzá lehet rendelni pontosan egy darab számot az A halmazból, az x/2-t, a példánkban a 0,66-ot. Minden B halmazbeli számnak van párja, pontosan egy párja van, és nincs két olyan szám a B halmazban, aminek az A halmazban azonos lenne a párja.

Tehát az A és B halmaz elemei párokba rendezhetők, mindenkinek pontosan egy párja lesz. Ha ez így van, akkor a két halmaz számossága azonos. Ha nem lenne az, akkor vagy kellene lennie A vagy B halmazban olyan számnak, amihez nem lehet a másik halmazban párt találni, vagy annak kellene fennállnia, hogy az egyik halmaz egyik elemének a másikban több párja is van.

@Roflkopter

Igen, a naiv intuíciót ezt mondatja az emberrel. Viszont megvan ennek a matematikája, a végtelenhez ha végtelent adsz hozzá, ugyanúgy végtelent kapsz. Hogy két végtelen közül melyik a nagyobb, az értelmezhetetlen, hiszen a végtelen nem egy szám – nagyon sokszor úgy gondolunk a végtelenre, mintha valami nagyon-nagyon-nagyon-nagy véges szám lenne –, hanem sokkal inkább egy jelleg. A végtelen halmaznak nem darabszáma van, hanem számossága, ami megint csak nem teljesen úgy viselkedik, mint egy véges szám, a velük végzett műveletek máshogy működnek. A természetes számok számosságát ℵ₀-nak jelöljük. Itt viszont igaz, hogy (véges n esetén):

ℵ₀ + n = ℵ₀

ℵ₀ - n = ℵ₀

ℵ₀ * n = ℵ₀

ℵ₀ / n = ℵ₀

2^ℵ₀ = ℵ₁ ≠ ℵ₀

Összeadással, kivonással, szorzással, osztással nem lehet elhagyni egy adott végtelen számosságát.

Lásd még: [link]

A problémamegvilágításához a kulcs a vizsgálat módszertana.

Véges számokat megszámolsz és megállapítasz valamit. Például azt, hogy egy másik véges számú halmazban több, kevesebb, vagy ugyanannyi elem van.

Végtelen mennyiségnél ez nem működik, végrehajthatatlan. Más módszer kell, az, amit pici gyerekek is tesznek, mikor még nem ismerik a számokat: az összehasonlítás, párba állítás. Kitalálunk olyan módszert, amivel minden elemet biztosan sorra veszünk, és mindről tudunk valamit mondani. Ezt a módszert algoritmusnak nevezzük. 2*Sü a leírásában azt használta ki, hogy észrevette: egyik halmaz (számszakasz) kétszerese a másiknak. Az összehasonlítási algoritmus tehát: egyikből vegyünk egy elemet, másikból a kétszeresét. Majd a másikból egyet és az egyikből a felét. Ezzel kimutatható, hogy mindegyik halmazból minden elemet felhasználtunk, és párba állíthattuk őket.

Bonyolultabb halmazoknál ugyanezt csinálják, csak esetleg nehezebb észrevenni a halmazok felépítésének szabályait. Néha pedig közvetett eszközöket használnak, de mindig azon múlik, mennyire ismerjük az adott halmaz szerkezetét.

@2*Sü

A kérdés amit feltett, miszerint a számok “nagysága megegyezik” arra az én válaszom helyes. Arról már nem tehetek, hogy igazából ő nem is arra gondolt csak nem tudja kifejezni magát.

Igen ha azt akarja tudni h hány szám van 0-1,0-2 között akkor valóban a válaszom irreleváns. Azért nem árt tudni fogalmazni legalább amíg a kérdést kiírja.