Van két homokóra egy 7 és egy 4 perces. Hogyan tudunk vele 9 percet mérni?

1) Elindítod egyszerre mindkettőt.

2) 4 perc múlva, amikor a 4 perces lepergett megfordítod csak a 4 perceset. Innentől számoljuk a 9 percet.

3) 3 perc múlva, amikor a 7 perces lepergett, megfordítod mindkettőt.

4) 3 perc múlva, amikor a 4 perces lepergett, megfordítod mindkettőt

5) 3 perc múlva, amikor a 7 perces lepergett, akkor telt le a 9 perc.

Lehet, hogy van gyorsabb módszer is, most hirtelen ez jutott eszembe.

Hogyan érdemes gondolkodni? Hogyan lehet analitikus módon eljutni megoldáshoz?

Ugye az ilyen feladatoknál csak konkrét időpontban lehet beavatkozni a „rendszer” működésébe, tehát nincs olyan, hogy „mikor félig lefolyt a homok”. Ergo csak akkor tudsz bármit is tenni, ha valamelyik homokóra lejárt. Amire viszont lehetőséged van, hogy egy ilyen fix időpontban megfordíts egy olyan homokórát, ami még nem járt le. Mondjuk ha a 7-es homokórát az 5. percben fordítasz meg, akkor további öt perc kell ahhoz, hogy visszafolyjon a homok.

0. Elindítod mindkettőt.

1. Ekkor az első fix időpont a 4. percben következik be. A 7 perces homokóra (3→4) státuszban van, ergo ezzel 3 vagy 4 percet lehet kimérni, attól függően, hogy megfordítod-e vagy sem. Ha a 7-es homokórát megordítanád, akkor azzal 4 percet lehetne kimérni. a 4-es homokórával szintén csak 4 percet lehetne kimérni. Ergo attól függetlenül, hogy a 4-es homokórát megfordítod-e vagy sem, a 7-es homokóra megfordításával a következő fix időpont a 8. percben lenne, és ekkor mindkét homokóra alaphelyzetben lenne, így nem tudnál 1 percet kimérni velük. Tehát a 7-es homokórát biztos, hogy nem szabad megfordítani.

Így viszont a következő fix időpont a 7. percben jön el. Ekkor a 7-es homokóra alaphelyzetben lesz, azzal nem lehet 2 percet kimérni. Ha nem fordítod meg a 4-es homokórát, akkor az is alaphelyzetben lesz, és azzal sem tudsz 2 percet kimérni. Innen következik, hogy a 4-es homokórát viszont meg kell fordítani.

2. A következő fix időpont a 7. percben jön el, a 7-es homokóra lejártakor. Ekkor a 4-es homokóra (1→3) státuszban van. Ha ezt megfordítod, akkor a következő fix időpont a 10. percben jön el. Az túl sok. A 7-es homokóráról ne is beszéljünk, annak a következő fix időpontja – ha megfordítod –, a 14. percben jönne el. Ergo itt 4-es homokórát nem szabad megfordítani. Így a következő fix időpont a 8. percben jön el, mikor a 4-es homokóra másodszor is lejár. Ha a 7-es homokórát nem fordítanád meg, akkor mindkét homokóra alaphelyzetben lenne a 8. percben, így egyikkel sem tudnál 1 percet kimérni. Ergo úgy tűnik a 7-es homokórát meg kell fordítani.

3. Ahogy írtam, a következő fix időpont a 8. percben jön el, mikor a 4-es homokóra másodszor is lejárt. Ennek a 4-es homokórának már sok hasznát nem vesszük. Mivel a 7-es homokórát a 7. percben megfordítottuk, az most (6→1) státuszban van. Ha nem fordítjuk meg, akkor értelemszerűen a 14. percben jár le, így ennek sem vennénk sok hasznát, ha nem fordítanánk meg. Viszont ha megfordítjuk, akkor (1→6) státuszba kerül, így pont jó lesz arra, hogy további egy percet mérjünk ki vele.

Ergo a megoldás [szögletes zárójellel jelzem a fix időpontot, mikor be lehet avatkozni]:

0. perc: 7→0, 4→0

1. perc: 6→1, 3→1

2. perc: 5→2, 2→2

3. perc: 4→3, 1→3

4. perc: 3→4, [0→4]

!4!. perc: Fordítsd meg a 4-es homokórát: 3→4, 4→0

5. perc: 2→5, 3→1

6. perc: 1→6, 2→2

7. perc: [0→7], 1→3

!7!. perc: Fordítsd meg a 7-es homokórát: 7→0, 1→3

8. perc: 6→1, [0→4]

!8!. perc: Fordítsd meg a 7-es homokórát: 1→6, 0→4

9. perc [0→7], 0→4

!9!. perc: Ez akkor jön el, mikor a 7-es homokóra leállt. Rendelj kaját, hozass bort, és ünnepeltesd magad! Sikeresen kimértél pontosan 9 percet.