Hány 3 jegyű szám készíthető az 1,2,3,4,5 számjegyekből, ha mindegyiket többször is felhasználhatom?

Ez ismétléses, mivel "mindegyiket többször is" felhasználhatod, és variáció, mivel n - jelen esetben 5 - elemből választunk ki k darabot - jelen esetben 3-at - és a sorrend - hogy 1 kerül előre vagy 3 - nem számít, így az ismétléses variációk száma:

n ^ k = 5 ^ 3 = 5 * 5 * 5 = 125

Józan paraszti ésszel:

Az első számjegyet öt különböző számjegyből tudod kiválasztani.

Mind az öt esetben a második számot öt különböző számjegyből tudod kiválasztani. (11,12,13,14,15; 21,22,23,24,25; …; 51,52,53,54,55)

A harmadik számjegyet az összes – 5*5=25 darab – számjegy esetén öt-öt különböző számjegyből tudod kiválasztani, így összesen 5*5*5 különböző háromjegyű számot tudsz felírni ebből az öt számjegyből.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Az elemi kombinatorikában három különböző eset van:

Permutáció. Adott egy halmaz, és ennek az elemeiből kell egy sorozatot csinálni. Könnyen felismerhető, hogy permutációról van szó, ha a kiinduló halmaz és a végeredmény ugyanolyan elemszámmal rendelkezik, tulajdonképpen nem kiválasztani kell elemeket, hanem cserélgetni. Például ilyen a kártyapakli megkeverése, a permutációval ki lehet számolni, hogy hányféle kártyasor képezhető a pakliból. Egy konkrét példa, adott egy 3 elemű halmaz {1,2,3}, és ebből kell minden lehetséges sorrendet felírni: (1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1). Ennek van egy ismétléses változata, ahol az eredeti halmaz több, egymástól nem különböző elemet is tartalmaz. Pl.: {1,1,2,2}. Ekkor az összes permutációja: (1,1,2,2), (1,2,1,2), (1,2,2,1), (2,1,1,2), (2,1,2,1), (2,2,1,1)

Kombináció: Adott egy halmaz, és ebből kell részhalmazt képezni. Itt az a kérdés, hogy egy adott halmaznak hányfajta adott elemszámú részhalmaza hozható létre. Mivel halmazokról van szó, így nincs sorrendiség. Erre jó példa a lottó. Egy 90 elemű halmazból kell 5 elemű halmazokat készíteni. A sorrend nem számít, hiszen nem számít, milyen sorrendben ikszeled be a szelvényen a számokat, és nem számít, hogy a beikszelt számokat milyen sorrendben húzzák ki. Ha a sorsolásnál úgy húzzák a számokat, hogy: 3, 13, 5, 87, 62, azt teljesen ugyanaz, mintha úgy húzták volna, hogy: 62, 13, 3, 87, 5. Az ismétléses jelző ugyanazt jelenti itt is, az eredeti halmazban vannak egymástól nem különböző elemek.

Variáció: Adott egy halmaz, és abból kell adott hosszúságú sorozatokat csinálni. Ilyen mondjuk, ha van egy osztály (mondjuk 25 emberrel), és ebből kell három elemű sorozatot csinálni, mint osztályfelelős, pénztáros, faliújság felelős. Nem mindegy, hogy ki melyik pozíciót kapja, hogy Aladár lesz-e a pénztáros, és Béla a faliújság felelős, vagy fordítva. Az ismétléses jelző azt jelenti, hogy a sorozatban az alaphalmaz egy-egy eleme akár többször is előfordulhat. Ebben az esetben akár a sorozat lehet több elemből, mint az alaphalmaz. Erre meg a totó a jó példa, ahol van egy alaphalmaz {1,2,X} és ebből kell 13+1 elemű sort csinálni, ahol természetesen több helyre is tehetsz 1-est, 2-est és X-et. A sorrend számít, mert nem mindegy, hogy A meccsre fogadsz 1-est, és B meccsre 2-est, vagy fordítva.

Röviden:

Permutáció: n elemű halmaz → n elemű sorozat

Kombináció: n elemű halmaz → k elemű halmaz

Variáció: n elemű halmaz → k elemű sorozat

Nézzük mi a helyzet a feladattal.

Permutáció? Nem, hiszen öt elemből kell 3-at, 3-at felhasználni, tehát kiválasztani kell elemeket, nem a halmaz elemeit cserélgetni.

Kombináció? Nem, hiszen a különböző háromjegyű számokban a számjegyek sorrendje számít. 123 ≠ 231 ≠ 312

Akkor variáció.

Ismétlés nélküli? Nem, mert egy-egy elemet újra felhasználhatsz, pl.: 111, vagy 122, vagy 331

Ergo ismétléses variációról van szó. V₅³ = 5³ = 125.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

A kombinációál elvileg nem számít a sorrend, viszont ha nem számít a sorrend, akkor nem több lehetőségnek kéne lennie, mint amikor számít a sorrend?

Nem. Ha a lottónál számítana a kitöltési sorrend, akkor a 3, 13, 5, 87, 62 szelvény különböző lenne a 62, 13, 3, 87, 5 szelvénytől. Ez két különböző szelvény. De mivel a lottónál nem számít a sorrend, ezért ez a két szelvény azonos, így csak egy szelvényről beszélünk.

Vagy vegyük az {1,2,3,4} halmazt. Ebből válasszunk két elemet, méghozzá nem ismétléses módon)

Variáció. Számít a sorrend, ergo a következő esetek lehetségesek: (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)

Kombináció. Nem számít a sorrend. Ergo a fentieknél az (1,2) = (2,1); (1,3) = (3,1); …; (2,4) = (4,2).

Pont ezért úgy kapjuk meg a kombinációk számát, hogy vesszük a variációk számát, majd elosztjuk a kapott halmaz permutációinak számával, hiszen ezen számsor minden permutációja – mivel nem számít a sorrend – ugyanazt a halmazt fogják jelenteni.