Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 18 cm, magassága 40 cm. Szabályos négyoldalú hasábokat írunk bele úgy, hogy a hasáb alaplapja a gúla alaplapján, a hasáb fedőlapjának csúcsai pedig a gúla oldalélein legyenek. Legnagyobb térfogatú hasáb?

Értelemszerűen akkor juthatunk a legnagyobb térfogatú testhez, hogyha alaplapját úgy helyezzük el, hogy annak szimmetriaközéppontja egybeesik az alaplap szimmetriaközéppontjával.

Legyen a csúcspontok távolsága az alapélektől x, ekkor a hasáb alaplapéle 18-2x cm, így alapterülete (18-2x)^2 cm^2.

A harmadik élt a következő módon tudjuk kiszámolni; vegyük az alaplapra merőleges és az alaplélekre merőleges (illetve azokkal párhuzamos) fősíkmetszetet, ekkor egy egyenlő szárú háromszöget kapunk, ahol az alapél hossza 40 cm, magassága 18 cm. A magasság felezi az alapélt, így olyan derékszögű háromszögeket kapunk, ahol a befogók hossza 18 cm és 20 cm. Ha a gúlába berakunk egy hasábot, akkor a fősíkmetszetben ez úgy jelenik meg, mint egy téglalap, aminek egyik oldala ráfekszik a háromszög alapjára, másik két csúcsa pedig a szárakon helyezkedik el. Itt látható, hogy a derékszögű háromszögeken belül egy másik derékszögű háromszöget kapunk, amelyek az eredetivel hasonlóak lesznek (mindhárom szög megegyezik), a tanultak alapján ezek megfelelő (párhuzamos) oldalaik aránya azonos lesz; legyen a magassággal párhuzamos él hossza M, ekkor

M/18=x/20 teljesül, ezt rendezve M-re

M=18*x/20=0,9*x

Ezzel a hasáb mindhárom élét meg tudtuk adni x függvényében, tehát annak a térfogata x függvényében (18-2x)^2*0,9*x, ennek keressük a maximumát.

Ha tudsz deriválni, akkor kibontjuk a zárójelet:

=(324-72x+4x^2)*0,9*x=3,6x^3-64,8x^2+291,6x, ennek a deriváltja

()'=10,8x^2-129,6x+291,6 (persze nem muszáj kibontani, a szorzatra vonatkozó szabállyal is lehet deriválni, de talán ebben az esetben ez az egyszerűbb)

Ahol ez 0, ott lehet szélsőértéke a függvénynek, tehát:

10,8x^2-129,6x+291,6=0

WolframAlpha szerint (egyébként megoldóképlettel kell):

[link]

Tehát a szélsőértékhelyek x=3-ban és x=9-ben vannak. Értelemszerűen x€[0;9], és x=9 esetén a térfogat 0, x=0 is, tehát a függvénynek igazából 3 szélsőértékhelye van, ebből 2 minimum, x=3 esetén viszont maximumot kapunk. Ezt onnan tudjuk, hogy ha x=3, akkor a térfogat (18-2*3)^2*0,9*3=388,8 cm^3, a [0;3) intervallumról tetszőlegesen kiválasztunk egy elemet és behelyettesítjük, akkor ennél kisebb elemet kapunk, és mivel arra kisebbet kapunk, ezért mindre azt kapjuk (máskülönben az intervallumon kellene még valahol 0 deriváltérték, mivel a polinom mindenhol differenciálható és folytonos). Ugyanez igaz a (3;9] intervallumra is.

Tehát a megfelelő hasáb éleinek hossza 12 cm, 12 cm és 2,7 cm, térfogata 388,8 m^3.

Közepekkel is valahogy kijön, azon még gondolkoznom kell.