Nagyon nagy számoknak hány különböző prímtényezője van leggyakrabban?

Érdekes kérdés. Te nagy vonalakban azt kérdezed, hogy egy nagy n számot Eratoszthenész szitája átlagosan hányszor talál el. Oké, nem pontosan ezt, csak úgy nagyjából.

Ugye a nagy számok felét eltalálja a 2-es rosta.

A számok 1/3-át a 3-as rosta.

A számok 1/5-ét az 5-ös.

És így tovább, a számok 1/p-edét a p-s, ahol p egy prímszám.

Az x-nél kisebb prímek együttes "szita-ereje" (1/2 + 1/3 + 1/5 + ... 1/[x közeli prím]). Az x-nél kisebb prímek számára egy céljainknak megfelelő egyszerű közelítés az x/log(x).

Ennek a növekménye (~deriváltja) jelenti az új prímek megjelenésének ütemét x-körül. Amelyeknek a szita-ereje a mindenkori 1/x.

Tehát amit keresünk, az x/log(x) deriváltja, szorozva 1/x-szel, és ennek integrálja.

Ez pedig log(log(x)) + 1/log(x) + c, aszimptotikusan log(log(x)). Tehát az egyre nagyobb számok felé haladva a szám alatt álló prímek együttes szitaereje duplán logaritmikus. Ez alighanem egy korrekt felső korlát a különböző prímtényezők átlagos számára.

Tehát ha egy tippet kéne adnom arra, hogy 10^(10^100) környékén mekkorák ezek a számok, log(log(10^(10^100))) környékére tippelném őket, ami 230.

#3 ötlete tök jó. Az a vicces, hogy π(x)-re az egyszerű x/ln(x) közelítés helyett a nem zárt alakú, de jobb Li(x)-t használva:

1. kijön, hogy nem csak aszimptotikusan, de végig ln(ln(x))

2. és még egyszerűbb is végigszámolni :)

Ugyanis Li(x) az 1/ln(x) integrálfüggvénye, dehát nekünk csak a deriváltja kell, ami persze a definícióból adódóan 1/ln(x). Ez 1/x-szel beszorozva 1/(x*ln(x)), aminek az integrálja ln(ln(x)) + c. Azaz nincs is ott az aszimptotikusan eltűnő 1/ln(x) tag :)

Megizzasztottam a gépemet hogy ha nem is a googolplexre, de azért elég nagy számokra ellenőrizzem: 10^10, 10^12, 10^15, 10^20, 10^25 és 10^30 körül generáltam plusz-mínusz egymilliós sávban véletlen számokat, a kisebbeknél tízezret, a nagyobbaknál már csak ezret és az utolsóra a hosszú futásidő miatt csak kétszázat. Megszámoltam hány különböző prímtényezőjük van, és átlagoltam mind a hat sávot.

Tökéletesen illeszkedik rá az ln(ln(x)) + c, ahol c≈0,28. A hatból egyik sem tért el 0.02-nél jobban a vártnál, ami egyébként 10^10-nél 3,43 és 10^30-nál 4,51.

10^(10^100)-nál pedig ezek szerint valóban 231 lenne.